Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo
1. Định nghĩa dãy số
1. Định nghĩa dãy số
- Dãy số vô hạn
- Hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương \({\mathbb{N}^*}\)được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số), nghĩa là
\(u:{\mathbb{N}^*} \to \mathbb{R}\)
\(n \mapsto {u_n} = u\left( n \right)\)
Dãy số trên được kí hiệu là \(\left( {{u_n}} \right)\).
- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)được viết dưới dạng khai triển \({u_1},{u_2},{u_3},...,{u_n},...\)
- Số \({u_1}\) là số hạng đầu; \({u_n}\)là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.
*Chú ý: Nếu \(\forall n \in {\mathbb{N}^*},{u_n} = c\)thì \(\left( {{u_n}} \right)\)được gọi là dãy số không đổi.
- Dãy số hữu hạn
Mỗi hàm số u xác định trên tập \(M = \left\{ {1;2;3;...;m} \right\},m \in {\mathbb{N}^*}\) được gọi là một dãy số hữu hạn.Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là \({u_1},{u_2},{u_3},...,{u_m}\).
Trong đó, số \({u_1}\) gọi là số hạng đầu, \({u_m}\)là số hạng cuối.
2. Cách cho một dãy số
Một dãy số có thể cho bằng:
- Liệt kê các số hạng (với các dãy hữu hạn).
- Công thức của số hạng tổng quát \({u_n}\).
- Phương pháp truy hồi:
- Cho số hạng thứ nhất \({u_1}\) (hoặc một vài số hạng đầu tiên)
- Cho một công thức tính \({u_n}\) theo\({u_{n - 1}}\) (hoặc theo vài số hạng đứng ngay trước nó).
- Phương pháp mô tả.
3. Dãy số tăng, dãy số giảm
- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số tăng nếu ta có \({u_{n + 1}} > {u_n}\)\(,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số giảm nếu ta có \({u_{n + 1}} < {u_n}\)\(,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
4. Dãy số bị chặn
- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn trên nếu \(\exists \) số M sao cho \({u_n} \le M,\) \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn dưới nếu \(\exists \) số m sao cho \({u_n} \ge m,\) \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho \(m \le {u_n} \le M,\)\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
