Lý thuyết Phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Toán 9 Cùng khám phá — Không quảng cáo

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng \(ax + by = c\), trong đó a, b và c là các số đã biết (\(a \ne 0\) hoặc \(b \ne 0\)).

Ví dụ: \(2x + 3y = 4\), \(0x + 2y = 3\), \(x + 0y = 2\) là các phương trình bậc nhất hai ẩn.

Nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

Cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là một nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn \(ax + by = c\) nếu \(a{x_0} + b{y_0} = c\).

Ví dụ: Cặp số \(( - 1;2)\) là nghiệm của phương trình \(2x + 3y = 4\) vì \(2.\left( { - 1} \right) + 3.2 =  - 2 + 6 = 4\).

Cặp số \((1;2)\) không là nghiệm của phương trình \(2x + 3y = 4\) vì

\(2.1 + 3.2 = 2 + 6 = 8 \ne 4\).

Biểu diễn nghiệm trên mặt phẳng tọa độ Oxy

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi nghiệm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) của phương trình \(ax + by = c\) được biểu diễn bởi điểm có tọa độ \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\).

Ví dụ:

Nghiệm của phương trình \( - 3x + y = 2\) được biểu diễn bởi đường thẳng d: \(y = 3x + 2\).

Nghiệm của phương trình \(0x + y =  - 2\) được biểu diễn bởi đường thẳng d: \(y =  - 2\) vuông góc với Oy tại điểm \(M\left( {0; - 2} \right)\).

Nghiệm của phương trình \(2x + 0y = 3\) được biểu diễn bởi đường thẳng d: \(x = 1,5\) vuông góc với Ox tại điểm \(N\left( {1,5;0} \right)\).

2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Khái niệm hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ phương trình có dạng: \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\), trong đó mỗi phương trình của hệ là một phương trình bậc nhất hai ẩn x và y.

Ví dụ: Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 0\\x + y = 3\end{array} \right.\), \(\left\{ \begin{array}{l}3x = 1\\x - y = 3\end{array} \right.\), \(\left\{ \begin{array}{l}4x - y = 3\\3y = 6\end{array} \right.\) là các hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) được gọi là một nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn nếu nó là nghiệm chung của hai phương trình của hệ đó.

Lưu ý:

- Nếu hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn không có nghiệm thì ta nói hệ đó vô nghiệm.

Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là tìm tất cả các nghiệm của nó.

Ví dụ: Cặp số (1; 2) là một nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 0\\x + y = 3\end{array} \right.\), vì:

\(2x - y = 2.1 - 2 = 0\) nên (1; 2) là nghiệm của phương trình thứ nhất.

\(x + y = 1 + 2 = 3\) nên (1; 2) là nghiệm của phương trình thứ hai.

3. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho (xem là phương trình thứ nhất, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn). Bước 2. Giải phương trình thu được ở Bước 1 để tìm giá trị của ẩn có mặt trong phương trình đó. Bước 3. Sử dụng giá trị của ẩn tìm được trong Bước 2 để tìm giá trị của ẩn còn lại rồi kết luận nghiệm của hệ phương trình.

Ví dụ:

1. Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 3\\x + 2y = 4\end{array} \right.\) được giải bằng phương pháp thế như sau:

Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có \(y = 2x - 3\).

Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được \(x + 2\left( {2x - 3} \right) = 4\)

Giải phương trình \(x + 2\left( {2x - 3} \right) = 4\), ta được:

\(x + 2\left( {2x - 3} \right) = 4\)

\(5x - 6 = 4\)

\(x = 2\).

Thay \(x = 2\) vào phương trình \(y = 2x - 3\), ta có: \(y = 2.2 - 3 = 1\).

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;1} \right)\).

2. Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y =  - 2\\2x - 2y = 8\end{array} \right.\) được giải bằng phương pháp thế như sau:

Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có \(x = y - 2\).

Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được

\(2\left( {y - 2} \right) - 2y = 8\)

\(0y - 4 = 8\).

Do không có giá trị vào của y thỏa mãn hệ thức \(0y - 4 = 8\) nên hệ phương trình vô nghiệm.

3. Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - x + y =  - 2\\3x - 3y = 6\end{array} \right.\) được giải bằng phương pháp thế như sau:

Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có \(y = x - 2\).

Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được

\(3x - 3\left( {x - 2} \right) = 6\)

\(0x = 0\).

Ta thấy mọi giá trị của x đều thỏa mãn \(0x = 0\).

Với giá trị tùy ý của x, giá trị tương ứng của y được tính bởi \(y = x - 2\).

Vậy hệ phương trình có nghiệm là \(\left( {x;x - 2} \right)\) với \(x \in \mathbb{R}\) tùy ý.

Lưu ý: Trong quá trình giải hệ phương trình bằng phương pháp thế, nếu sau khi thế xuất hiện phương trình có hệ số của ẩn bằng 0 thì hệ phương trình đã cho hoặc có vô số nghiệm, hoặc vô nghiệm.

4. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:

Bước 1. Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau. Bước 2. Cộng hoặc trừ từng vế hai phương trình thu được trong Bước 1 để nhận được một phương trình mới mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình chỉ còn một ẩn) Bước 3. Giải phương trình mới tìm được ở Bước 2 để tìm giá trị của ẩn có mặt trong phương trình đó. Bước 4. Thay giá trị vừa tìm được trong Bước 3 vào một trong hai phương trình của hệ đã cho để tìm giá trị của ẩn còn lại rồi kết luận nghiệm của hệ phương trình.

Ví dụ:

1. Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}5x - 7y = 9\\5x - 3y = 1\end{array} \right.\) được giải bằng phương pháp cộng đại số như sau:

Trừ từng vế hai phương trình ta được \(\left( {5x - 5x} \right) + \left( { - 7y + 3y} \right) = 9 - 1\) hay \( - 4y = 8\), suy ra \(y =  - 2\).

Thế \(y =  - 2\) vào phương trình thứ hai ta được \(5x - 7.\left( { - 2} \right) = 9\) hay \(5x + 14 = 9\), suy ra \(x =  - 1\).

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là (-1;-2).

2. Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 5y = 2\\ - 6x + 10y =  - 4\end{array} \right.\) được giải bằng phương pháp cộng đại số như sau:

Chia hai vế của phương trình thứ hai cho 2, ta được hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 5y = 2\\ - 3x + 5y =  - 2\end{array} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới ta có \(0x + 0y = 0\). Hệ này luôn thỏa mãn với các giá trị tùy ý của x và y.

Với giá trị tùy ý của x, giá trị của y được tính nhờ hệ thức \(3x - 5y = 2\), suy ra \(y = \frac{3}{5}x - \frac{2}{5}\).

Vậy hệ phương trình đã cho cho nghiệm là \(\left( {x;\frac{3}{5}x - \frac{2}{5}} \right)\) với \(x \in \mathbb{R}\).

5. Tìm nghiệm của hệ phương trình bằng máy tính cầm tay

Ta sử dụng loại máy tính cầm tay (MTCT) có chức năng này (có phím MODE/MENU ). Dưới đây là hướng dẫn cụ thể với máy Fx-580VNX. Ta viết phương trình cần giải dưới dạng \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1}x + {b_1}y = {c_1}\\{a_2}x + {b_2}y + {c_2}\end{array} \right.\).

Ví dụ: Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 4 = 0\\ - 2x + y = 0\end{array} \right.\), ta viết nó dưới dạng \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 4\\ - 2x + y = 0\end{array} \right.\).

Khi đó, ta có \({a_1} = 2\), \({b_1} = 1\), \({c_1} = 4\), \({a_2} =  - 2\), \({b_2} = 1\), \({c_2} = 0\). Lần lượt thực hiện các bước sau:

Bước 1. Vào chức năng hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách nhấn MENU rồi bấm phím 9 để chọn tính năng Equation/Func (Ptrình/HệPtrình) .

Bấm phím 1 để chọn Simul Equation (hệ phương trình) .

Cuối cùng, bấm phím 2 để giải hệ hai phương trình bậc nhất

Bước 2. Ta nhập các hệ số \({a_1},{b_1},{c_1},{a_2},{b_2},{c_2}\) bằng cách bấm

Bước 3. Sau khi nhập xong, ta bấm phím =, màn hình hiện x = 1; tiếp tục bấm =, màn hình hiện y = 3. Ta hiểu nghiệm của hệ phương trình là (-1;2).

Chú ý:

- Muốn xóa số vừa mới nhập thì bấm phím AC, muốn thay đổi số đã nhập ở vị trí nào đó thì di chuyển con trỏ đến vị trí đó rồi nhập số mới.

- Bấm phím ▲ hay ▼ để chuyển hiển thị các giá trị của x và y trong kết quả.

- Nếu máy báo Infinite Solution thì hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

Nếu máy báo No Solution thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm.