Trả lời phần câu hỏi ôn tập chương 1: Căn bậc hai, căn bậc ba trang 39 SGK toán 9 tập 1 — Không quảng cáo

Câu 1

Nêu điều kiện để x là căn bậc hai số học của số a không âm. Cho ví dụ.

Lời giải chi tiết:

Để $x$ là căn bậc hai số học của số $a$ không âm thì $x ≥ 0$ và $x^2 = a.$

Ví dụ: số 2 là căn bậc hai số học của 4 vì $2 > 0$ và $2^2 = 4.$

Câu 2

Chứng minh $\sqrt {a^2} = |a|$ với mọi số a.

Phương pháp giải:

Nếu $x ≥ 0$ và $x^2 = a$ thì $x$ là căn bậc hai số học của số $a$ không âm.

Lời giải chi tiết:

Ta xét hai trường hợp:

+) Nếu $a > 0 \Rightarrow \left| a \right| = a \Rightarrow {\left| a \right|^2} = a$

+) Nếu $a < 0 \Rightarrow \left| a \right| =  - a \Rightarrow {\left| a \right|^2} = {\left( { - a} \right)^2} = {a^2}$

Hay ta luôn có ${\left( {\left| a \right|} \right)^2} = {a^2}\left( 1 \right)$ mà $\left| a \right| \ge 0$ với mọi $a$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\left| a \right|$ là căn bậc hai số học của ${a^2}$ hay $\sqrt {{a^2}}  = \left| a \right|$

Câu 3

Biểu thức A phải thỏa mãn điều kiện gì để $\sqrt A$ xác định?

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\sqrt A$ xác định khi $A \ge 0$ hay nói cách khác : điều kiện xác định của căn bậc hai là biểu thức lấy căn không âm.

Câu 4

Phát biểu và chứng minh định lí về mối liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương. Cho ví dụ.

Phương pháp giải:

Nếu $x ≥ 0$ và $x^2 = a$ thì $x$ là căn bậc hai số học của số $a$ không âm.

Lời giải chi tiết:

Định lí: Nếu $a \ge 0$ và $b \ge 0$ thì $\sqrt {ab}  = \sqrt a .\sqrt b$

Chứng minh:  Vì $a \ge 0,b \ge 0 \Rightarrow ab \ge 0,$ do đó $\sqrt a ,\sqrt b ,\sqrt {ab}$ đều xác định

Ta có: ${\left( {\sqrt a .\sqrt b } \right)^2} = {\left( {\sqrt a } \right)^2}.{\left( {\sqrt b } \right)^2} = a.b$

Do $\sqrt a  \ge 0,\sqrt b  \ge 0 \Rightarrow \sqrt a .\sqrt b  \ge 0$

Vậy $\sqrt a .\sqrt b$ là căn bậc hai số học của tích $ab$

Hay $\sqrt a .\sqrt b  = \sqrt {ab}$

Ví dụ: $\sqrt {49.36}  = \sqrt {49} .\sqrt {36}$$= 7.6 = 42$

Câu 5

Phát biểu và chứng minh định lí về mối liên hệ giữa phép chia và phép khai phương. Cho ví dụ.

Phương pháp giải:

Nếu $x ≥ 0$ và $x^2 = a$ thì $x$ là căn bậc hai số học của số $a$ không âm.

Lời giải chi tiết:

Định lý: Nếu $a \ge 0,b > 0$ thì $\sqrt {\dfrac{a}{b}}  = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$

Chứng minh:

Do $a \ge 0,b > 0$ nên $\dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$ xác định

Ta có: ${\left( {\dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}} \right)^2} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt a } \right)}^2}}}{{{{\left( {\sqrt b } \right)}^2}}} = \dfrac{a}{b}\left( 1 \right)$

Mặt khác $\sqrt a  \ge 0,\sqrt b  > 0 \Rightarrow \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }} \ge 0$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$ là căn bậc hai số học của $\dfrac{a}{b}$

Hay $\sqrt {\dfrac{a}{b}}  = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$

Ví dụ: $\sqrt {\dfrac{{16}}{{81}}}  = \dfrac{{\sqrt {16} }}{{\sqrt {81} }} = \dfrac{4}{9}$; $\dfrac{{\sqrt {32} }}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {\dfrac{{32}}{2}}  = \sqrt {16}  = 4$