Trắc nghiệm toán 7 bài 7 chương 8 chân trời sáng tạo có đáp án — Không quảng cáo

• A.

  Hai tam giác $ABC$ và $AEF$ có cùng trọng tâm

• B.

  Hai tam giác $ABC$ và $AEC$ có cùng trọng tâm

• C.

  Hai tam giác $ABC$ và $ABF$ có cùng trọng tâm

• D.

  Hai tam giác $AEM$ và $AMF$ có cùng trọng tâm

• A.

  $IH//MN;IH = MN$

• B.

  $IH//MN;IH < MN$

• C.

  $IH//MN;IH > MN$

• D.

  $IH//MN;IH = 2MN$

• A.

  $2$

• B.

  $3$

• C.

  $\dfrac{1}{3}$

• D.

  $\dfrac{2}{3}$

• A.

  $2$

• B.

  $3$

• C.

  $\dfrac{1}{3}$

• D.

  $\dfrac{2}{3}$

• A.

  Hai tam giác $ABC$ và $AEF$ có cùng trọng tâm

• B.

  Hai tam giác $ABC$ và $AEC$ có cùng trọng tâm

• C.

  Hai tam giác $ABC$ và $ABF$ có cùng trọng tâm

• D.

  Hai tam giác $AEM$ và $AMF$ có cùng trọng tâm

• A.

  $IH//MN;IH = MN$

• B.

  $IH//MN;IH < MN$

• C.

  $IH//MN;IH > MN$

• D.

  $IH//MN;IH = 2MN$

+) Dựa vào đinh lý về tính chất ba đường trung tuyến của một tam giác để tìm mối liên hệ giữa các cạnh.

+) Áp dụng công thức tính diện tích của một tam giác.

Gọi $MH$  là đường cao kẻ từ $M$  xuống cạnh $BC,NK$ là đường cao kẻ từ $N$  xuống cạnh $ME.$

Hai đường trung tuyến $ME$  và $NF$  cắt nhau tại $O$  nên $O$  là trọng tâm tam giác $MNP,$  do đó $MO = \dfrac{2}{3}ME$.

Có $ME$  là đường trung tuyến ứng với cạnh $NP$  nên $E$  là trung điểm của $NP,$  suy ra $NP = 2.NE$

Ta có:

$\dfrac{{{S_{MNO}}}}{{{S_{MNE}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.NK.MO}}{{\dfrac{1}{2}.NK.ME}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.NK.\dfrac{2}{3}.ME}}{{\dfrac{1}{2}.NK.ME}} = \dfrac{2}{3}$ $\Rightarrow {S_{MNO}} = \dfrac{2}{3}{S_{MNE}}$

$\dfrac{{{S_{MNE}}}}{{{S_{MNP}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.MH.NE}}{{\dfrac{1}{2}.MH.NP}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.MH.NE}}{{\dfrac{1}{2}.MH.2.NE}} = \dfrac{1}{2}$ $\Rightarrow {S_{MNE}} = \dfrac{1}{2}{S_{MNP}}$

Từ đó suy ra

${S_{MNP}} = 2.{S_{MNE}} = 3.{S_{MNO}}$ $\Rightarrow {S_{MNP}} = 3.8 = 24\,c{m^2}$

+) Sử dụng định lý Py-ta-go để tính cạnh của tam giác vuông

+) Dựa vào đinh lý về tính chất ba đường trung tuyến của một tam giác để tính độ dài cạnh theo đề bài yêu cầu

$\Delta ABC$vuông tại $A$  nên theo định lí Py-ta-go ta có:

$A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}$ $\Rightarrow A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {13^2} - {5^2} = 144$$\Rightarrow AC = 12\,cm$

Ta có $AM,BN,CE$ là các đường trung tuyến ứng với các cạnh $BC,AC,AB$ của tam giác vuông $ABC$

Suy ra $M,N,E$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,AC,AB.$

$\Rightarrow AN = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2} \cdot 12 = 6\,cm$

Áp dụng định lí Py-ta-go với tam giác $ABN$  vuông tại $A$  ta có: $A{B^2} + A{N^2} = B{N^2}$ $\Rightarrow {5^2} + {6^2} = B{N^2} \Rightarrow B{N^2} = 61$$\Rightarrow BN = \sqrt {61} \,cm$

$I$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $BI = \dfrac{2}{3}BD = \dfrac{1}{3}BE$  $\left( 1 \right)$

$K$ là trọng tâm tam giác $ACE$ nên $EK = \dfrac{2}{3}ED = \dfrac{1}{3}BE\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right);\left( 2 \right)$ suy ra $IK = \dfrac{1}{3}BE$ từ đó $BI = EK = IK$ .

+ Sử dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác và quan hệ giữa các cạnh trong tam giác

Gọi $G$ là giao điểm của $BD$ và $CE$. Trong $\Delta GBC$ ta có $BG + CG > BC$

Ta lại có $BG = \dfrac{2}{3}BD;\,CG = \dfrac{2}{3}CE$ (tính chất các đường trung tuyến của tam giác $ABC$)

Từ đó $\dfrac{2}{3}BD + \dfrac{2}{3}CE > BG + CG$$\Rightarrow \dfrac{2}{3}\left( {BD + CE} \right) > BC$$\Rightarrow BD + CE > \dfrac{3}{2}BC.$

+ Dựa vào đinh lý về tính chất ba đường trung tuyến của một tam giác để tính $BG;CG.$

+ Sử dụng định lý Pytago để tính cạnh $BC.$

Gọi giao điểm của hai đường trung tuyến $BD$ và $CE$ là $G$ thì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC.$

Theo tính chất đường trung tuyến của tam giác ta có $BG = \dfrac{2}{3}BD;\,CG = \dfrac{2}{3}CE$

Mà $BD = 9\,cm;\,CE = 12\,cm$ nên $BG = \dfrac{2}{3}.9 = 6\,cm;\,CG = \dfrac{2}{3}.12\,cm = 8\,cm.$

Xét tam giác $BGC$ vuông tại $G,$ theo định lý Pytago ta có

$B{C^2} = B{G^2} + C{G^2}$

$B{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100$ hay $BC = 10\,cm.$

Vậy $BC = 10\,cm.$

+ Sử dụng tính chất về đường trung tuyến của tam giác

+ Chứng minh hai tam giác bằng nhau $\Delta BGE = \Delta CGD\left( {c - g - c} \right)$

+ Từ đó suy ra tính chất của tam giác $ABC.$

Hai đường trung tuyến $BD;CE$ cắt nhau tại $G$ suy ra $G$ là trọng tâm tam giác $ABC.$

Suy ra $BG = \dfrac{2}{3}BD;\,CG = \dfrac{2}{3}CE$ mà $BD = CE \Rightarrow$$BG = CG.$ Từ đó $BD - BG = CE - CG \Rightarrow GD = GE$

Xét tam giác $BGE$ và tam giác $CGD$ có

+ $BG = CG$

+ $\widehat {BGE} = \widehat {CGD}$  (đối đỉnh)

+ $GD = GE$

Nên $\Delta BGE = \Delta CGD\left( {c - g - c} \right)$ suy ra $BE = CD \Rightarrow \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}AC$ do đó $AB = AC$ hay tam giác $ABC$ cân tại $A.$

Các tia $AG,BG$ và $CG$  cắt $BC,AC,AB$ lần lượt tại $D,E,F$ thì $D,E,F$ theo thứ tự là trung điểm của $BC,AC,AB.$

Mà   $BC = AC = AB$ (do tam giác $ABC$ là tam giác đều), do đó $BD = DC = CE = EA = AF = FB$

Xét $\Delta AEB$ và $\Delta AFC$ ta có:  $AB = AC;$ $\widehat A$ chung; $AE = AF.$

Vậy $\Delta AEB = AFC\,(c.g.c)$, suy ra $BE = CF\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Chứng minh tương tự ta có $\Delta BEC = ADC\,(c.g.c)$, suy ra $BE = AD\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) ta có:  $AD = BE = CF\left( 3 \right)$

Theo đề bài $G$  là trọng tâm của tam giác $ABC$  nên ta có:

$GA = \dfrac{2}{3}AD;\,\,GB = \dfrac{2}{3}BE;\,\,GC = \dfrac{2}{3}CF$

Vì thế từ (3) ta suy ra $GA = GB = GC.$

Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ và $AM$ là đường trung tuyến nên $AG = \dfrac{2}{3}AM$ (tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)

Do đó $AG = \dfrac{2}{3}.9 = 6\,cm.$

• A.

  $2$

• B.

  $3$

• C.

  $\dfrac{1}{3}$

• D.

  $\dfrac{2}{3}$

• A.

  $2$

• B.

  $3$

• C.

  $\dfrac{1}{3}$

• D.

  $\dfrac{2}{3}$

Định lý:  Vị trí trọng tâm: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng $\dfrac{2}{3}$ độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Số cần điền là $\dfrac{2}{3}.$

Sử dụng kiến thức về ba đường trung tuyến.

“ Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm gặp nhau của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm của tam giác đó.”

+ Một tam giác chỉ có một trọng tâm nên đáp án D sai.