Bài 1.7 trang 21 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Sử dụng ({15^0} = {45^0} - {30^0}), hãy tính các giá trị lượng giác của góc ({15^0}).
Đề bài
Sử dụng \({15^0} = {45^0} - {30^0}\), hãy tính các giá trị lượng giác của góc \({15^0}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức:
\(\cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b\)
\(\sin \left( {a - b} \right) = \sin a\cos b - \cos a\sin b\)
\(\tan \left( {a - b} \right) = \frac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a\tan b}}\)
\(\cot \left( {a - b} \right) = \frac{{1 + \tan a\tan b}}{{\tan a - \tan b}}\)
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\cos {15^0} = \cos \left( {{{45}^0} - {{30}^0}} \right) = \cos {45^0}\cos {30^0} + \sin {45^0}\sin {30^0} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}\)
\(\sin {15^0} = \sin \left( {{{45}^0} - {{30}^0}} \right) = \sin {45^0}\cos {30^0} - \cos {45^0}\sin {30^0} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4}\)
\(\tan {15^0} = \tan \left( {{{45}^0} - {{30}^0}} \right) = \frac{{\tan {{45}^0} - \tan {{30}^0}}}{{1 + \tan {{45}^0}\tan {{30}^0}}} = \frac{{1 - \frac{{\sqrt 3 }}{3}}}{{1 + \frac{{\sqrt 3 }}{3}}} = 2 - \sqrt 3 \)
\(\cot {15^0} = \frac{1}{{\tan {{15}^0}}} = \frac{1}{{2 - \sqrt 3 }}\)