Bài 10 trang 133 SGK Toán 9 tập 2 — Không quảng cáo

Giải các hệ phương trình:

LG a

$\left\{ \matrix{2\sqrt {x - 1} - \sqrt {y - 1} = 1 \hfill \cr \sqrt {x - 1} + \sqrt {y - 1} = 2 \hfill \cr} \right.$

Phương pháp giải:

+) Đặt điều kiện để hệ phương trình có nghĩa.

+) Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

Chú ý: Đặt điều kiện cho ẩn phụ nếu cần.

Lời giải chi tiết:

$\left\{ \matrix{2\sqrt {x - 1} - \sqrt {y - 1} = 1 \hfill \cr \sqrt {x - 1} + \sqrt {y - 1} = 2 \hfill \cr} \right.$

Điều kiện: $x \geq 1$ và $y \geq 1.$

Đặt $X = \sqrt {x - 1}$ (điều kiện $X ≥ 0$)

$Y = \sqrt {y - 1}$ (điều kiện $Y ≥ 0$)

Hệ phương trình trở thành:

$\eqalign{ & \left\{ \matrix{ 2X - Y = 1 \hfill \cr X + Y = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 3{\rm{X}} = 3 \hfill \cr X + Y = 2 \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ X = 1  \, \, (tm)\hfill \cr Y = 1 \, \, (tm) \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \sqrt {x - 1} = 1 \hfill \cr \sqrt {y - 1} = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x - 1 = 1 \hfill \cr y - 1 = 1 \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 2 \, \, (tm)\hfill \cr y = 2 \, \, (tm)\hfill \cr} \right. \cr}$

Vậy $(2;2)$ là nghiệm của hệ phương trình

LG b

$\left\{ \matrix{{\left( {x - 1} \right)^2} - 2y = 2 \hfill \cr 3{\left( {x - 1} \right)^2} + 3y = 1 \hfill \cr} \right.$

Phương pháp giải:

+) Đặt điều kiện để hệ phương trình có nghĩa.

+) Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

Chú ý: Đặt điều kiện cho ẩn phụ nếu cần.

Lời giải chi tiết:

$\left\{ \matrix{{\left( {x - 1} \right)^2} - 2y = 2 \hfill \cr 3{\left( {x - 1} \right)^2} + 3y = 1 \hfill \cr} \right.$

Đặt $X = (x – 1)^2$(điều kiện $X ≥ 0$). Khi đó:

$\begin{array}{l} Hpt \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} X - 2y = 2\\ 3X + 3y = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} X = 2 + 2y\\ 3\left( {2 + 2y} \right) + 3y = 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} X = 2 + 2y\\ 6 + 6y + 3y = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} X = 2 + 2y\\ 9y = - 5 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} X = 2 + 2y\\ y = - \dfrac{5}{9} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} X = \frac{8}{9}\;\;\left( {tm} \right)\\ y = - \frac{5}{9} \end{array} \right.\\ \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = \dfrac{8}{9} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x - 1 = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\\ x - 1 = - \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3} \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 + \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\\ x = 1 - \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3} \end{array} \right.. \end{array}$

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm: $\displaystyle \left( {1 + {{2\sqrt 2 } \over 3}; - {5 \over 9}} \right)$ và $\displaystyle \left( {1 - {{2\sqrt 2 } \over 3}; - {5 \over 9}} \right)$