Bài 2 trang 99 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều — Không quảng cáo

Đề bài

Chứng minh định lí sau: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

Lời giải chi tiết

Cho hai mặt phẳng $\left( P \right),\left( Q \right)$ vuông góc với nhau. Ta cần chứng minh tồn tại một đường thẳng $a \subset \left( P \right)$ sao cho $a \bot \left( Q \right)$.

Gọi $d = \left( P \right) \cap \left( Q \right)$. Lấy $M \in \left( P \right),N \in \left( Q \right)$ sao cho $M,N \notin d$.

Gọi góc $\widehat {aOb}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện $\left[ {M,d,N} \right]$.

Vì $\left( P \right) \bot \left( Q \right)$ nên góc nhị diện đó là góc nhị diện vuông. Vậy $\widehat {aOb} = {90^ \circ } \Rightarrow a \bot b$.

Mà $a \bot d$

$\Rightarrow a \bot \left( Q \right)$