Bài 3 trang 56 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Cho hình chóp (S.ABC) có (SA = SB = SC = a,widehat {BSA} = widehat {CSA} = {60^ circ },) (widehat {BSC} = {90^ circ }).
Đề bài
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = SB = SC = a,\widehat {BSA} = \widehat {CSA} = {60^ \circ },\) \(\widehat {BSC} = {90^ \circ }\). Cho \(I\) và \(J\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(BC\). Chứng minh rằng \(IJ \bot SA\) và \(IJ \bot BC\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, ta chứng minh góc giữa chúng bằng \({90^ \circ }\).
Lời giải chi tiết
Xét tam giác SAB có:
SA = SB = a
\(\widehat {BSA} = {60^0}\)
⇒ Tam giác SAB đều.
Mà I là trung điểm của SA ⇒ \(IB = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Xét tam giác SAC có:
SA = SC = a
\(\widehat {ASC} = {60^0}\)
⇒ Tam giác SAC đều.
Mà I là trung điểm của SA ⇒ \(IC = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Ta có BSC là tam giác vuông cân tại S.
⇒ BC=\(\sqrt {S{B^2} + S{C^2}} = a\sqrt 2 \)
Xét tam giác ABC:
AB = AC = a
\(\begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}\\B{C^2} = {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = 2{a^2}\\ \Rightarrow A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\end{array}\)
⇒ Tam giác ABC vuông cân tại A.
Mà J là trung điểm đoạn BC ⇒ AJ \( \bot \) BC
⇒ \(AJ = \sqrt {A{B^2} - B{J^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Xét tam giác SBC vuông cân tại S:
Mà J là trung điểm đoạn BC ⇒ SJ \( \bot \) BC
⇒ \(SJ = \sqrt {S{B^2} - B{J^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Xét tam giác JSA:
AJ = SJ = \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
⇒ Tam giác JSA cân tại J.
Mà I là trung điểm của SA ⇒ IJ là đường trung tuyến của tam giác JSA.
hay IJ ⊥SA.
Xét tam giác IBC:
IB = IC =\(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
⇒ Tam giác IBC cân tại I.
Mà J là trung điểm của BC ⇒ IJ là đường trung tuyến của tam giác IBC.
hay IJ \( \bot \) BC.