Bài 3 trang 73 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình lăng trụ đứng $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$, $AA' = 2a,AD = 2a,AB = BC = a$.

a) Tính độ dài đoạn thẳng $AC'$.

b) Tính tổng diện tích các mặt của hình lăng trụ.

Lời giải chi tiết

a) $\Delta ABC$ vuông cân tại $B \Rightarrow AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = a\sqrt 2$

$CC' = AA' = 2a$

$CC' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow CC' \bot AC$

$\Rightarrow \Delta ACC'$ vuông tại $C \Rightarrow AC' = \sqrt {A{C^2} + CC{'^2}}  = a\sqrt 6$

b) ${S_{ABC{\rm{D}}}} = {S_{A'B'C'C'}} = \frac{1}{2}\left( {A{\rm{D}} + BC} \right).AB = \frac{{3{a^2}}}{2}$

Gọi $M$ là trung điểm của $AD$

$\Rightarrow ABCM$ là hình vuông$\Rightarrow MC = M{\rm{D}} = MA = \frac{1}{2}A{\rm{D}} = a$

$\Delta MC{\rm{D}}$ vuông cân tại $M \Rightarrow C{\rm{D}} = \sqrt {C{M^2} + D{M^2}}  = a\sqrt 2$

$\begin{array}{l}{S_{ABB'A'}} = AB.AA' = 2{a^2}\\{S_{ADD'A'}} = AD.AA' = 4{a^2}\\{S_{BCC'B'}} = BC.CC' = 2{a^2}\\{S_{C{\rm{DD}}'{\rm{C}}'}} = C{\rm{D}}.CC' = 2{a^2}\sqrt 2 \end{array}$

Tổng diện tích các mặt của hình lăng trụ là:

$\begin{array}{l}S = {S_{ABC{\rm{D}}}} + {S_{A'B'C'C'}} + {S_{ABB'A'}} + {S_{ADD'A'}} + {S_{BCC'B'}} + {S_{C{\rm{DD}}'{\rm{C}}'}}\\ &  = \frac{{3{a^2}}}{2} + \frac{{3{a^2}}}{2} + 2{a^2} + 4{a^2} + 2{a^2} + 2{a^2}\sqrt 2  = \left( {11 + 2\sqrt 2 } \right){a^2}\end{array}$