Bài 3 trang 85 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Xét tính liên tục của các hàm số sau:

a) $f\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} - 4}}$;

b) $g\left( x \right) = \sqrt {9 - {x^2}}$;

c) $h\left( x \right) = \cos x + \tan x$.

Lời giải chi tiết

a) ĐKXĐ: ${x^2} - 4 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne  \pm 2$

Vậy hàm số có TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm 2} \right\}$.

Hàm số $f\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} - 4}}$ là hàm phân thức hữu tỉ nên nó liên tục trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 2} \right),\left( { - 2;2} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$.

b) ĐKXĐ: $9 - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow  - 3 \le x \le 3$

Vậy hàm số có TXĐ: $D = \left[ { - 3;3} \right]$.

Hàm số $g\left( x \right) = \sqrt {9 - {x^2}}$ là hàm căn thức nên nó liên tục trên khoảng $\left( { - 3;3} \right)$.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \sqrt {9 - {x^2}}  = \sqrt {9 - {3^2}}  = 0 = f\left( 3 \right)$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {3^ + }} \sqrt {9 - {x^2}}  = \sqrt {9 - {{\left( { - 3} \right)}^2}}  = 0 = f\left( { - 3} \right)$

Vậy hàm số $g\left( x \right) = \sqrt {9 - {x^2}}$ là liên tục trên đoạn $\left[ { - 3;3} \right]$.

c) ĐKXĐ: $\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Vậy hàm số có TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Hàm số $h\left( x \right) = \cos x + \tan x$ là hàm lượng giác nên nó liên tục trên các khoảng $\left( { - \frac{\pi }{2} + k\pi ;\frac{\pi }{2} + k\pi } \right),k \in \mathbb{Z}$.