Bài 33 trang 80 SGK Toán 9 tập 2
Cho A, B, C là ba điểm trên một đường tròn
Đề bài
Cho \(A, B, C\) là ba điểm trên một đường tròn. \(At\) là tiếp tuyến của đường tròn tại \(A\). Đường thẳng song song với \(At\) cắt \(AB\) tại \(M\) và cắt \(AC\) tại \(N\).
Chứng minh: \(AB. AM = AC . AN\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Trong một đường tròn, góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung thì có số đo bằng nhau và bằng nửa số đo cung bị chắn.
+) Chứng minh cặp tam giác đồng dạng tương ứng. Từ đó suy ra các cặp tương ứng tỉ lệ và đẳng thức cần chứng minh.
Lời giải chi tiết
Xét đường tròn \((O)\) ta có:
\(\widehat C\) là góc nội tiếp chắn cung \(AB\)
\(\widehat{BAt}\) là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung \(AB.\)
\(\Rightarrow \widehat {BAt} = \widehat C.\) (1)
Lại có vì \(MN//At\) nên \(\widehat{AMN} = \widehat {BAt}\) (so le trong) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat{AMN} = \widehat C\) (3)
Xét hai tam giác \(AMN\) và \(ACB\) ta có:
\(\widehat A\) chung
\(\widehat M = \widehat C \, \, (theo (3))\)
Vậy \(∆AMN ∽ ∆ACB \, (g-g)\)
\(\displaystyle \Rightarrow {{AN} \over {AB}} = {{AM} \over {AC}}\) (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
\(\Rightarrow AB. AM = AC . AN\) (đpcm).