Bài 33 trang 54 SGK Toán 9 tập 2
Chứng tỏ rằng nếu phương trình
Đề bài
Chứng tỏ rằng nếu phương trình ax2+bx+c=0 có nghiệm là x1 và x2 thì tam thức ax2+bx+c phân tích được thành nhân tử như sau:
ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2).
Áp dụng: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a)2x2−5x+3
b) 3x2+8x+2
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Biến đổi vế phải a(x−x1)(x−x2) và sử dụng hệ thức Vi-ét để đưa về bằng với vế trái ax2+bx+c.
+ Áp dụng: Tìm nghiệm của mỗi phương trình bằng công thức nghiệm rồi thay vào công thức ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2).
Lời giải chi tiết
Vì x1;x2 là hai nghiệm của phương trình ax2+bx+c=0 nên theo hệ thức Vi-ét ta có
{x1+x2=−bax1.x2=ca
Xét ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2).
Biến đổi vế phải:
a(x−x1)(x−x2)
=a(x2−xx2−xx1+x1x2)
=ax2−a(x1+x2)x+ax1x2
=ax2−a(−ba)x+aca=ax2+bx+c
Vậy phương trình ax2+bx+c=0 có nghiệm là x1,x2 thì:
ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2).
Áp dụng:
a) Phương trình 2x2−5x+3=0 có a + b + c = 2 – 5 + 3 = 0 nên có hai nghiệm là \displaystyle {x_1} = 1,{x_2} = {\rm{ }}{3 \over 2} nên:
\displaystyle 2{x^2}{\rm{ + }}5x + 3 = 2(x{\rm{ - }}1)(x - {\rm{ }}{3 \over 2}) = (x - 1)(2x - 3)
b) Phương trình {\rm{ }}3{x^2} + {\rm{ }}8x{\rm{ }} + {\rm{ }}2=0 có a = 3, b = 8, b’ = 4, c = 2.
Nên \Delta' {\rm{ }} = {\rm{ }}{4^2}-{\rm{ }}3{\rm{ }}.{\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}10 suy ra phương trình có hai nghiệm là:
{x_1} = \dfrac{-4 - \sqrt{10}}{3}, {x_2}= \dfrac{-4 + \sqrt{10}}{3}
nên: \displaystyle 3{x^2} + 8x + 2 = 3(x - {\rm{ }}{{ - 4 - \sqrt {10} } \over 3})(x - {\rm{ }}{{ - 4 + \sqrt {10} } \over 3})
\displaystyle = 3(x + {\rm{ }}{{4 + \sqrt {10} } \over 3})(x + {\rm{ }}{{4 - \sqrt {10} } \over 3})