Bài 32 trang 116 SGK Toán 9 tập 1 — Không quảng cáo

Đề bài

Cho tam giác đều $ABC$ ngoại tiếp đường tròn bán kính $1cm$. Diện tích của tam giác $ABC$ bằng:

(A) $6cm^{2}$;

(B) $\sqrt{3}cm^{2}$;

(C) $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}cm^{2}$

(D) $3\sqrt{3}cm^{2}.$

Hãy chọn câu trả lời đúng.

Lời giải chi tiết

Gọi $(O)$ là đường tròn nội tiếp tam giác đều $ABC$ và H là tiếp điểm thuộc AB.

Khi đó $OH=1$ là bán kính của $(O)$

Ta có: $CH\bot AB$

Trong tam giác đều ABC, đường cao CH cũng là đường trung tuyến.

Vì tam giác ABC đều nên O cũng là trọng tâm tam giác.

Theo tính chất đường trung tuyến, ta có:

$OH=\dfrac{1}{3}CH \Rightarrow CH=3.OH=3.1=3.$

Vì tam giác $ABC$ đều nên $\widehat{B}=60^o$.

Xét tam giác $CHB$, vuông tại $H$, $\widehat{B}=60^o,\ CH=3$. Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có:

$CH=CB. \sin B \Rightarrow CB=\dfrac{CH}{\sin B}=\dfrac{3}{\sin 60^o}=2\sqrt 3$

Suy ra $AB=AC=BC=2\sqrt{3}(cm).$

Do đó diện tích tam giác $ABC$ là

$S=\dfrac{1}{2}CH.AB=\dfrac{1}{2}.3. 2\sqrt{3}=3\sqrt{3}(cm^{2}).$

Ta chọn (D).