Bài 32 trang 80 SGK Toán 9 tập 2 — Không quảng cáo

Đề bài

Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$. Một tiếp tuyến của đường tròn tại $P$ cắt đường thẳng $AB$ tại $T$ (điểm $B$ nằm giữa $O$ và $T$)

Chứng minh: $\widehat {BTP} + 2.\widehat {TPB} = {90^0}$.

Lời giải chi tiết

Cách 1:

Ta có $\widehat {TPB}$ là góc tạo bởi tiếp tuyến $PT$ và dây cung $PB$ của đường tròn $(O)$ nên  $\widehat {TPB}=\dfrac{1}{2}sđ\overparen{BP}$ (1)

Lại có: $\widehat {BOP}=sđ\overparen{BP}$   (góc ở tâm chắn $\overparen{BP}$) (2)

Từ (1) và (2) suy ra  $\widehat {BOP} = 2.\widehat {TPB}$.

Vì $TP$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ nên $OP \bot TP$. Do đó tam giác $TPO$ vuông tại $P$, ta có $\widehat {BOP} + \widehat {BTP}=90^0.$

hay $\widehat {BTP} + 2.\widehat {TPB} = {90^0}$ (đpcm)

Cách 2:

Vì $\widehat {BAP} = \widehat{BPT}$ ( góc nội tiếp chắn cung và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung $PB$)

Vì $\widehat {B_{1}}$ là góc ngoài tại đỉnh B của tam giác BPT nên

$\widehat {B_{1}} =\widehat {BTP} +\widehat {BPT}$

$\Rightarrow \widehat {BAP}+\widehat {B_{1}} =\widehat {BPT}+ \widehat {BTP} +\widehat {BPT}=\widehat {BTP} + 2.\widehat {TPB}$(3)

Xét đường tròn (O) có: $\widehat{APB}= 90^0$( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow$ Tam giác APB vuông tại P

$\Rightarrow$ $\widehat {BAP}+\widehat {B_{1}} =90^0$ (4)

Từ (3) và (4) ta có: $\Rightarrow$ $\widehat {BTP} + 2.\widehat {TPB} = {90^0}$ (đpcm)