Bài 35 trang 109 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy ABCD là hình chữ nhật, $AD = a,AB = a\sqrt 2$. Biết $SA \bot (ABCD)$ và $SA = a\sqrt 3$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh CD.

a) Chứng minh rằng $BD \bot (SAM)$.

b) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABMD.

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác ABD vuông tại A có $\tan \widehat {ADB} = \frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{a} = \sqrt 2$

Xét tam giác ADM vuông tại D có $\tan \widehat {AMD} = \frac{{AD}}{{DM}} = \frac{a}{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \sqrt 2$

Do đó $\widehat {ADB} = \widehat {AMD}$

Mà $\widehat {ADB} + \widehat {EDM} = {90^0}$ nên $\widehat {AMD} + \widehat {EDM} = {90^0} \Rightarrow \widehat {DEM} = {90^0} \Rightarrow AM \bot BD$

Ta có $AM \bot BD,SA \bot BD \Rightarrow BD \bot \left( {SAM} \right)$

b) Vì tứ giác ABMD là hình thang vuông nên

${S_{ABMD}} = \frac{{\left( {DM + AB} \right)AD}}{2} = \frac{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2} + a\sqrt 2 } \right)a}}{2} = \frac{{3{a^2}\sqrt 2 }}{4}$

Vậy thể tích khối chóp S.ABMD là $V = \frac{1}{3}SA.{S_{ABMD}} = \frac{1}{3}.a\sqrt 3 .\frac{{3{a^2}\sqrt 2 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{4}$