Bài 4 trang 100 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Cho tứ diện ABCD. Gọi ({G_1},{G_2}) lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và ABD. Chứng minh rằng đường thẳng ({G_1}{G_2}) song song với đường thẳng CD.
Đề bài
Cho tứ diện ABCD. Gọi \({G_1},{G_2}\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và ABD. Chứng minh rằng đường thẳng \({G_1}{G_2}\) song song với đường thẳng CD.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng định lý Talet đảo
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.
Lời giải chi tiết
Trong mặt phẳng ABC, kẻ trung tuyến AM của tam giác ABC.
Vì \({G_1}\) là trọng tâm tam giác ABC nên \(\frac{{A{G_1}}}{{AM}} = \frac{2}{3}\).
Trong mặt phẳng ABD, kẻ trung tuyến AN của tam giác ABN.
Vì \({G_2}\) là trọng tâm tam giác ABC nên \(\frac{{A{G_2}}}{{AN}} = \frac{2}{3}\).
Xét tam giác AMN, có \(\frac{{A{G_1}}}{{AM}} = \frac{{A{G_2}}}{{AN}} = \frac{2}{3}\) nên \({G_1}{G_2}\)//MN (định lý Thales đảo).
Xét tam giác BCD có M, N lần lượt là trung điểm của BC, BD nên MN là đường trung bình.
Khi đó, MN//CD.
Vậy \({G_1}{G_2}\)//CD (cùng song song với MN).