Bài 41 trang 27 SGK Toán 9 tập 2
Giải các hệ phương trình sau:
Giải các hệ phương trình sau:
LG a
\(\left\{ \matrix{x\sqrt 5 - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)y = 1 \hfill \cr \left( {1 - \sqrt 3 } \right)x + y\sqrt 5 = 1 \hfill \cr} \right.\)
Phương pháp giải:
Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Lời giải chi tiết:
\(\left\{ \matrix{ x\sqrt 5 - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)y = 1(1) \hfill \cr \left( {1 - \sqrt 3 } \right)x + y\sqrt 5 = 1(2) \hfill \cr} \right.\)
Ta giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:
Từ (1) ta có \(x = \displaystyle{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)y + 1} \over {\sqrt 5 }}(3)\)
Thế (3) vào (2), ta được:
\(\eqalign{ & \left( {1 - \sqrt 3 } \right)\left[ {{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)y + 1} \over {\sqrt 5 }}} \right] + y\sqrt 5 = 1 \cr & \Leftrightarrow \left( {1 - \sqrt 3 } \right)\left( {1 + \sqrt 3 } \right)y + \left( {1 - \sqrt 3 } \right) + 5y = \sqrt 5 \cr & \Leftrightarrow - 2y + 5y = \sqrt 5 + \sqrt 3 - 1 \cr&\Leftrightarrow y = {{\sqrt 5 + \sqrt 3 - 1} \over 3} \cr} \)
Thế y vừa tìm được vào (3), ta được:
\(\begin{array}{l} x = \dfrac{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 - 1} \right) + 3}}{{3\sqrt 5 }} = \dfrac{{\sqrt 5 + \sqrt 3 - 1 + \sqrt {15} + 3 - \sqrt 3 + 3}}{{3\sqrt 5 }}\\ = \dfrac{{\sqrt 5 + \sqrt {15} + 5}}{{3\sqrt 5 }} = \dfrac{{\sqrt 5 \left( {1 + \sqrt 3 + \sqrt 5 } \right)}}{{3\sqrt 5 }} = \dfrac{{1 + \sqrt 3 + \sqrt 5 }}{3} \end{array}\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm là: \(\displaystyle\left( {{{\sqrt 5 + \sqrt 3 + 1} \over 3};{{\sqrt 5 + \sqrt 3 - 1} \over 3}} \right)\)
LG b
\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2x}}{{x + 1}} + \dfrac{y}{{y + 1}} = \sqrt 2 \\\dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{3y}}{{y + 1}} = - 1\end{array} \right.\)
Phương pháp giải:
Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp cộng đại số.
Lời giải chi tiết:
Giải hệ phương trình: (I)
\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2x}}{{x + 1}} + \dfrac{y}{{y + 1}} = \sqrt 2 \\\dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{3y}}{{y + 1}} = - 1\end{array} \right.\)
Điều kiện: \(\displaystyle x \ne - 1;y \ne - 1\)
Ta giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
Đặt \(\displaystyle u = {x \over {x + 1}};v = {y \over {y + 1}}\)
Thay vào hệ (I), ta có hệ mới với ẩn là \(\displaystyle u\) và \(\displaystyle v\) ta được:
\(\displaystyle \left\{ \matrix{ 2u + v = \sqrt 2 \,\,(1') \hfill \cr u + 3v = - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2u + v = \sqrt 2 (3) \hfill \cr - 2u - 6v = 2(4) \hfill \cr} \right.\)
Cộng (3) và (4) vế theo vế, ta được: \(\displaystyle - 5{\rm{v}} = 2 + \sqrt 2 \Leftrightarrow v = {{ - \left( {2 + \sqrt 2 } \right)} \over 5}\)
Thay \(\displaystyle v = {{ - \left( {2 + \sqrt 2 } \right)} \over 5}\) vào (1’), ta được:
\(\displaystyle 2u + v = \sqrt 2 \Leftrightarrow 2u = -v+\sqrt 2\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow 2u = {{2 + \sqrt 2 } \over 5} + \sqrt 2 \Leftrightarrow 2u = {{2 + \sqrt 2 + 5\sqrt 2 } \over 5} = {{2 + 6\sqrt 2 } \over 5}\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow u = {{1 + 3\sqrt 2 } \over 5}\)
Với giá trị của \(\displaystyle u,v\) vừa tìm được, ta thế vào để tìm nghiệm \(\displaystyle x, y\).
Ta có:
\(\displaystyle \left\{ \matrix{ {x \over {x + 1}} = {{1 + 3\sqrt 2 } \over 5} \hfill \cr {y \over {y + 1}} = {{ - 2 - \sqrt 2 } \over 5} \hfill \cr} \right.\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = \left( {x + 1} \right).\left( {{{1 + 3\sqrt 2 } \over 5}} \right) \hfill \cr y = \left( {y + 1} \right).{{{ - 2 - \sqrt 2 } \over 5}} \hfill \cr} \right.\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 5{\rm{x}} = \left( {x + 1} \right)\left( {1 + 3\sqrt 2 } \right) \hfill \cr 5y = \left( {y + 1} \right)\left( { - 2 - \sqrt 2 } \right) \hfill \cr} \right.\)
\(\displaystyle \begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5x = x\left( {3\sqrt 2 + 1} \right) + 3\sqrt 2 + 1\\ 5y = y\left( { - 2 - \sqrt 2 } \right) - 2 - \sqrt 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5x - \left( {3\sqrt 2 + 1} \right)x = 3\sqrt 2 + 1\\ 5y - \left( { - 2 - \sqrt 2 } \right)y = - 2 - \sqrt 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {4 - 3\sqrt 2 } \right)x = 3\sqrt 2 + 1\\ \left( {7 + \sqrt 2 } \right)y = - 2 - \sqrt 2 \end{array} \right. \end{array}\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = {{1 + 3\sqrt 2 } \over {4 - 3\sqrt 2 }} \hfill \cr y = {{-2 - \sqrt 2 } \over {7 + \sqrt 2 }} \hfill \cr} \right.\)
\(\displaystyle \begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \dfrac{{\left( {3\sqrt 2 + 1} \right)\left( {4 + 3\sqrt 2 } \right)}}{{\left( {4 - 3\sqrt 2 } \right)\left( {4 + 3\sqrt 2 } \right)}}\\ y = \dfrac{{\left( { - 2 - \sqrt 2 } \right)\left( {7 - \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {7 + \sqrt 2 } \right)\left( {7 - \sqrt 2 } \right)}} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \dfrac{{ - 22 - 15\sqrt 2 }}{2}\,(tmđk)\\ y = \dfrac{{ - 12 - 5\sqrt 2 }}{{47}}\,(tmđk) \end{array} \right. \end{array}\)
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \(\displaystyle \left( {\dfrac{{ - 22 - 15\sqrt 2 }}{2};\dfrac{{ - 12 - 5\sqrt 2 }}{{47}}} \right)\)