Bài 41 trang 83 SGK Toán 9 tập 2
Qua điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O)
Đề bài
Qua điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O) vẽ hai cát tuyến ABC và AMN sao cho hai đường thẳng BN và CM cắt nhau tại một điểm S nằm bên trong đường tròn.
Chứng minh: ˆA+^BSM=2^CMN.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn có số đo bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.
+) Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.
+) Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn.
Lời giải chi tiết
Xét đường tròn (O) có:
+) ˆA là góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn (O) chắn cung CN và BM ⇒ˆA=sđCN⏜ (1)
+) \widehat {BSM} là góc có đỉnh nằm trong đường tròn (O) chắn cung CN và BM \Rightarrow \widehat {BSM}=\dfrac{sđ\overparen{CN}+sđ\overparen{BM}}{2} (2)
Cộng (1) và (2) theo vế với vế:
\widehat{A}+\widehat {BSM}=\dfrac{2sđ\overparen{CN}+(sđ\overparen{BM}-sđ\overparen{BM)}}{2}=sđ \overparen{CN} (3)
Mà \widehat {CMN} là góc nội tiếp chắn cung CN \Rightarrow \widehat {CMN}=\dfrac{sđ\overparen{CN}}{2}
\Leftrightarrow 2\widehat {CMN}=sđ\overparen{CN}. (4)
Từ (3) và (4) ta được: \widehat A + \widehat {BSM} = 2\widehat {CMN} (đpcm).