Bài 5 trang 19 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời ság tạo
Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau: a) ({sin ^4}alpha - {cos ^4}alpha
Đề bài
Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:
a) \({\sin ^4}\alpha - {\cos ^4}\alpha = 1 - 2{\cos ^2}\alpha \)
b) \(\tan \alpha + \cot \alpha = \frac{1}{{\sin \alpha .\cos \alpha }}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dựa vào các hệ thức cơ bản của lượng giác để chứng minh
Lời giải chi tiết
a) Ta có:
\(\begin{array}{l}{\sin ^4}\alpha - {\cos ^4}\alpha = 1 - 2{\cos ^2}\alpha \\ \Leftrightarrow \left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)\left( {{{\sin }^2}\alpha - {{\cos }^2}\alpha } \right) = 1 - 2{\cos ^2}\alpha \\ \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha - {\cos ^2}\alpha - 1 + 2{\cos ^2}\alpha = 0\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 1 - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 0 = 0\end{array}\)
Đẳng thức luôn đúng.
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}\tan \alpha + \cot \alpha = \frac{1}{{\sin \alpha .\cos \alpha }}\\ \Leftrightarrow \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{1}{{\sin \alpha .\cos \alpha }}\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{{\cos \alpha .\sin \alpha }} = \frac{1}{{\sin \alpha .\cos \alpha }}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{\sin \alpha .\cos \alpha }} = \frac{1}{{\sin \alpha .\cos \alpha }}\end{array}\)
Đẳng thức luôn đúng.