Bài 51 trang 87 SGK Toán 9 tập 2
Cho I, O lần lượt là tâm đường tròn
Đề bài
Cho I,O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với ˆA=600. Gọi H là giao điểm của các đường cao BB′ và CC′.
Chứng minh các điểm B,C,O,H,I cùng thuộc một đường tròn.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Với đoạn thẳng AB và góc α(00<α<1800) cho trước thì quỹ tích các điểm M thỏa mãn ^AMB=α là hai cung chứa góc α dựng trên đoạn AB.
Nên ta chỉ ra ^BOC=^BHC=^BIC.
Lời giải chi tiết
+) Ta có: ^BOC=2^BAC=2.600=1200 (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung BC). (1)
+) Lại có ^BHC=^B′HC′ (hai góc đối đỉnh)
Xét tứ giác AB'HC' có: ^B′HC′+^HC′A+^HB′A+ˆA=3600 (tổng các góc của tứ giác bằng 3600) nên ^B′HC′=360∘−^HC′A−^HB′A−ˆA =360∘−90∘−90∘−60∘=120∘
⇒^BHC=1200. (2)
+) Vì I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên BI; CI lần lượt là tia phân giác góc B, góc C.
Xét tam giác ABC có ˆB+ˆC+ˆA=180∘ (Định lí tổng 3 góc trong một tam giác) ⇔ˆB+ˆC=180∘−60∘=120∘
Xét tam giác BIC có ^BIC+^IBC+^ICB=1800 (Định lí tổng 3 góc trong một tam giác)
⇒^BIC=180∘−^IBC−^ICB=180∘−ˆB2−ˆC2=180∘−ˆB+ˆC2=180∘−60∘=120∘
Do đó ^BIC=1200. (3)
Từ (1), (2), (3) ta thấy các điểm O,H,I cùng nằm trên các cung chứa góc 1200 dựng trên đoạn thẳng BC. hay 5 điểm B,C,O,H,I cùng thuộc một đường tròn.