Bài 53 trang 30 SGK Toán 9 tập 1 — Không quảng cáo

Rút gọn các biểu thức sau (giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa) :

LG a

$\sqrt{18(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}};$

Phương pháp giải:

+ $\sqrt{ab}=\sqrt a. \sqrt b$,  với $a,\ b \ge 0$.

+ $|a| = a$,  nếu $a \ge 0$

$|a|=-a$  nếu $a < 0$.

+ Sử dụng định lí so sánh hai căn bậc hai số học:  Với hai số $a,\ b$ không âm, ta có:

$a < b \Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt b$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\sqrt{18(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}}=\sqrt {18}.\sqrt{(\sqrt 2 - \sqrt 3)^2}$

$=\sqrt{9.2}.|\sqrt{2}-\sqrt{3}|=\sqrt{3^2.2}.|\sqrt{2}-\sqrt{3}|$

$=3\sqrt{2}.|\sqrt{2}-\sqrt{3}|=3\sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{2})$

$=3\sqrt {2.3}- 3(\sqrt 2)^2$

$=3\sqrt 6 -3.2=3\sqrt{6}-6$.

(Vì  $2 < 3 \Leftrightarrow \sqrt 2 < \sqrt 3 \Leftrightarrow \sqrt 2 -\sqrt 3 <0$

Do đó: $|\sqrt 2 -\sqrt 3|=-(\sqrt 2 -\sqrt 3)=-\sqrt 2 +\sqrt 3$$=\sqrt 3-\sqrt2$).

LG b

$ab\sqrt{1+\dfrac{1}{a^{2}b^{2}}}$

Phương pháp giải:

+ $\sqrt{ab}=\sqrt a. \sqrt b$,  với $a,\ b \ge 0$.

+ $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}$,  với $a \ge 0,\ b > 0$.

+ $|a| = a$,  nếu $a \ge 0$

$|a|=-a$  nếu $a < 0$.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$ab\sqrt{1+\dfrac{1}{a^{2}b^{2}}}=ab\sqrt{\dfrac{a^2b^2}{a^2b^2}+\dfrac{1}{a^2b^2}}=ab\sqrt{\dfrac{a^2b^2+1}{a^2b^2}}$

$=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{\sqrt{a^2b^2}}=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{\sqrt{(ab)^2}}$

$=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{|ab|}$

Nếu $ab > 0$ thì $|ab|=ab$

$\Rightarrow ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{|ab|}=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{ab}=\sqrt{a^2b^2+1}$.

Nếu $ab < 0$ thì $|ab|=-ab$

$\Rightarrow ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{|ab|}=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{-ab}=-\sqrt{a^2b^2+1}$.

LG c

$\sqrt{\dfrac{a}{b^{3}}+\dfrac{a}{b^{4}}}$

Phương pháp giải:

+ $\sqrt{ab}=\sqrt a. \sqrt b$,  với $a,\ b \ge 0$.

+ $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}$,  với $a \ge 0,\ b > 0$.

+ $|a| = a$,  nếu $a \ge 0$

$|a|=-a$  nếu $a < 0$.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\sqrt{\dfrac{a}{b^{3}}+\dfrac{a}{b^{4}}}=\sqrt{\dfrac{a.b}{b^{3}.b}+\dfrac{a}{b^{4}}}=\sqrt{\dfrac{ab}{b^4}+\dfrac{a}{b^4}}$

$=\sqrt{\dfrac{ab+a}{b^4}}=\dfrac{\sqrt{ab+a}}{\sqrt{(b^2)^2}}=\dfrac{\sqrt{ab+a}}{|b^2|}=\dfrac{\sqrt{ab+a}}{b^2}$.

(Vì $b^2 > 0$ với mọi $b \ne 0$ nên $|b^2|=b^2$).

LG d

$\dfrac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

Phương pháp giải:

+ $\sqrt{ab}=\sqrt a. \sqrt b$,  với $a,\ b \ge 0$.

+ $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}$,  với $a \ge 0,\ b > 0$.

+ $|a| = a$,  nếu $a \ge 0$

$|a|=-a$  nếu $a < 0$.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\dfrac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{(\sqrt a)^2+\sqrt{a}.\sqrt b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt a (\sqrt a+\sqrt b)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

$=\sqrt a$.

Cách khác:

$\begin{array}{l} \dfrac{{a + \sqrt {ab} }}{{\sqrt a + \sqrt b }} = \dfrac{{\left( {a + \sqrt {ab} } \right)\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}}{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}}\\ = \dfrac{{a\sqrt a - a\sqrt b + \sqrt {ab} .\sqrt a - \sqrt {ab} .\sqrt b }}{{{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt b } \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{a\sqrt a - a\sqrt b + a\sqrt b - b\sqrt a }}{{a - b}}\\ = \dfrac{{a\sqrt a - b\sqrt a }}{{a - b}}\\ = \dfrac{{\sqrt a \left( {a - b} \right)}}{{a - b}} = \sqrt a \end{array}$