Bài 6 trang 65 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều — Không quảng cáo

Toán 11, giải toán lớp 11 cánh diều Bài 1. Giới hạn của dãy số Toán 11 Cánh diều


Bài 6 trang 65 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB = 2R, C1 là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính (frac{{AB}}{2},) C2 là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính (frac{{AB}}{4},...) Cn là đường gồm 2n nửa đường tròn đường kính (frac{{AB}}{{{2^n}}},...) (Hình 4). Gọi pn là độ dài của Cn, Sn là diện tích hình phẳng giới hạn bởi Cn và đoạn thẳng AB. a) Tính pn, Sn. b) Tìm giới hạn của các dãy số (pn) và (Sn).

Đề bài

Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB = 2R, C 1 là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính \(\frac{{AB}}{2},\), C 2 là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính \(\frac{{AB}}{4},...\)

Gọi p n là độ dài của C n , S n là diện tích hình phẳng giới hạn bởi C n và đoạn thẳng AB.

a) Tính p n , S n .

b) Tìm giới hạn của các dãy số (p n ) và (S n ).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chu vi hình tròn \(C = \pi d\)

Diện tích hình tròn \(S = \pi {R^2}\)

Lời giải chi tiết

a) Vì C n là nửa đường tròn đường kính \(\frac{{AB}}{{{2^n}}}\) nên ta có \({p_n} = \frac{1}{2}{.2^n}.\frac{{AB}}{{{2^n}}}.\pi  = {2^n}.\frac{R}{{{2^n}}}.\pi  = \pi R\)

Đường kính \(\frac{{AB}}{{{2^n}}} = \frac{{2R}}{{{2^n}}}\) nên bánh kính \(\frac{R}{{{2^n}}}\)

\({S_n} = {2^n}.{\left( {\frac{R}{{{2^n}}}} \right)^2}.\frac{\pi }{2} = \frac{{\pi {R^2}}}{2}.\frac{1}{{{2^n}}} = \frac{{\pi {R^2}}}{{{2^{n + 1}}}}\)

b)  \(\begin{array}{l}\lim {p_n} = \lim \left( {\pi R} \right) = \pi R\\\lim {S_n} = \lim \frac{{\pi {R^2}}}{{{2^{n + 1}}}} = \lim \left[ {\frac{{\pi {R^2}}}{2}.{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right] = \lim \frac{{\pi {R^2}}}{2}.\lim {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = 0\end{array}\)


Cùng chủ đề:

Bài 6 trang 48 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Bài 6 trang 52 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Bài 6 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Bài 6 trang 56 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều
Bài 6 trang 57 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Bài 6 trang 65 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Bài 6 trang 72 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Bài 6 trang 72 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều
Bài 6 trang 76 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều
Bài 6 trang 77 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Bài 6 trang 80 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều