Bài 7. 43 trang 65 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình lăng trụ $ABCD.A'B'C'D'$. Biết $A'.ABCD$ là hình chóp đều có tất cả các cạnh đều bằng nhau và bằng $a$. Tính theo $a$ thể tích của khối lăng trụ $ABCD.A'B'C'D'$ và thể tích của khối chóp $A'.BB'C'C$.

Lời giải chi tiết

Gọi $AC \cap BD = \left\{ O \right\}$ mà A’.ABCD là hình chóp đều nên $A'O \bot \left( {ABCD} \right)$

Xét tam giác ABC vuông tại B có $AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2$

$\Rightarrow OA = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

Xét tam giác A’AO vuông tại O có

$A'O = \sqrt {A{{A'}^2} - A{O^2}}  = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

${S_{ABCD}} = {a^2}$

Vậy khối chóp có thể tích $V_{chóp} = \frac{1}{3}A'O.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}.$

Nếu hình lăng trụ $ABCD.A'B'C'D'$ xoay lại thành hình lăng trụ AA’D’D.BB’C’C thì thể tích không thay đổi do đó thể tích hình chóp $A'.BB'C'C$ bằng 1/3 thể tích hình lăng trụ AA’D’D.BB’C’C vì chung đáy và chung chiều cao kẻ từ A’ xuống đáy BB’C’C.

Thể tích khối lăng trụ là ${V_{lăng trụ}} = 3.\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{2}}.$