Bài 7. 44 trang 65 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Toán 11, giải toán lớp 11 kết nối tri thức với cuộc sống Bài tập cuối chương VII Toán 11 Kết nối tri thức


Bài 7.44 trang 65 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, \(AB//CD\) và \(AB = BC = DA = a\), \(CD = 2a\). Biết hai mặt phẳng \((SAC)\) và \((SBD)\) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy \((ABCD)\) và \(SA = a\sqrt 2 \). Tính theo \(a\) khoảng cách từ \(S\) đến mặt phẳng \((ABCD)\) và thể tích của khối chóp S.ABCD.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Thể tích khối chóp \(V = \frac{1}{3}h.S\)

Lời giải chi tiết

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Mà \((SAC)\) và \((SBD)\) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy \((ABCD)\) nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\)

Kẻ \(AK \bot DC\) tại K \( \Rightarrow DK = \frac{{DC - AB}}{2} = \frac{a}{2}\)

Xét tam giác ADK vuông tại K có

\(AK = \sqrt {A{D^2} - D{K^2}}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Xét tam giác AKC vuông tại K có

\(AC = \sqrt {A{K^2} + K{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{3a}}{2}} \right)}^2}}  = a\sqrt 3 \)

Ta có AB // CD nên \(\frac{{OA}}{{OC}} = \frac{{AB}}{{DC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow OA = \frac{1}{3}AC = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Xét tam giác SAO vuông tại O có

\(SO = \sqrt {SA{^2} - A{O^2}}  = \sqrt {{({a \sqrt 2})^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt {15} }}{3}\)

Diện tích đáy ABCD là:

\(S_{ABCD} = \frac{1}{2} (AB+CD).AK = \frac{1}{2} (a+2a).\frac{{a\sqrt {3} }}{2} =  \frac {3a^2\sqrt{3}}{4}\)

Thể tích của khối chóp S.ABCD là:

\(V_{S.ABCD} = \frac {1}{3} .SO.S_{ABCD} = \frac {1}{3}.\frac{{a\sqrt {15} }}{3}.\frac {3a^2\sqrt{3}}{4} = \frac {a^3\sqrt5}{4}\)


Cùng chủ đề:

Bài 7. 39 trang 65 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Bài 7. 40 trang 65 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Bài 7. 41 trang 65 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Bài 7. 42 trang 65 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Bài 7. 43 trang 65 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Bài 7. 44 trang 65 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Bài 7. 45 trang 65 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Bài 8 trang 105 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Bài 8. 1 trang 71 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Bài 8. 2 trang 71 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Bài 8. 3 trang 71 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức