Bài 9.16 trang 96 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Cho hàm số (fleft( x right) = 2{sin ^2}left( {x + frac{pi }{4}} right).)
Đề bài
Cho hàm số f(x)=2sin2(x+π4). Chứng minh rằng |f″ với mọi x.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Giả sử hàm số y = f\left( x \right) có đạo hàm tại mỗi điểm x \in \left( {a;b} \right). Nếu hàm số y' = f'\left( x \right) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y' là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f\left( x \right) tại x, kí hiệu là y'' hoặc f''\left( x \right).
Lời giải chi tiết
Ta có f'\left( x \right) = 2.2\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right).{\left[ {\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right]^,} = 4\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 2\sin \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right)
\Rightarrow f''\left( x \right) = 2.2\cos \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right) = 4\cos \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right)
Mặt khác - 1 \le \cos \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right) \le 1 \Leftrightarrow - 4 \le f''\left( x \right) \le 4
Vậy \left| {f''\left( x \right)} \right| \le 4 với mọi x.