Bài 95 trang 105 SGK Toán 9 tập 2 — Không quảng cáo

Đề bài

Các đường cao hạ từ $A$ và $B$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại $H$ (góc $C$ khác $90^0$) và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ lần lượt tại $D$ và $E$. Chứng minh rằng:

a) $CD = CE$ ;     b) $ΔBHD$ cân ;     c) $CD = CH$.

Lời giải chi tiết

a) Gọi K là giao điểm của BC và AD

Gọi I là giao điểm của BE và AC

Cách 1:

Ta có: $\widehat {A{\rm{D}}B} = \widehat {A{\rm{E}}B}$ (1) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung $AB$)

$\widehat {DBC} + \widehat {ADB} = {90^0}$ (2) (do tam giác BDK vuông tại K)

$\widehat {AEB} + \widehat {CAE} = {90^0}$ (3) (do tam giác AIE vuông tại I)

Từ (1), (2), (3) $\Rightarrow \widehat {CB{\rm{D}}} = \widehat {CA{\rm{E}}}$ (cùng phụ với hai góc bằng nhau)

Có $\widehat {CBD}$ là góc nội tiếp chắn cung CD

$\widehat {EAC}$ là góc nội tiếp chắn cung CE

⇒ $sđ\overparen{CD}$= $sđ\overparen{CE}$

Suy ra $CD = CE$

Cách 2:

Vì $BC \bot AD$ nên $\widehat{AKB}=90^0$

Lại có $\widehat{AKB}$ là góc có đỉnh bên trong đường tròn chắn cung AB và CD nên

$\widehat{AKC}=\dfrac{sđ\overparen {DC}+sđ \overparen {BA}}{2}=90^0$

Suy ra $sđ\overparen {AB}+sđ \overparen {CD}=180^0$ (1)

Vì $BE \bot AC$ nên $\widehat{AIB}=90^0$

Lại có $\widehat{AIB}$ là góc có đỉnh bên trong đường tròn chắn cung AB và CE nên

$\widehat{AIB}=\dfrac{sđ\overparen {CE}+sđ \overparen {AB}}{2}=90^0$

Suy ra $sđ\overparen {AB}+sđ \overparen {CE}=180^0$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $sđ \overparen {CE}=sđ \overparen {CD}$

Suy ra $\overparen {CE}=\overparen {CD}$, do đó $CE=CD.$

b) Ta có $\widehat {EBC}$ và $\widehat {CB{\rm{D}}}$ là góc nội tiếp lần lượt chắn cung $\overparen{CE}$ và $\overparen{CD}$ trong đường tròn $O$ và $\overparen{CD}$= $\overparen{CE}$

nên $\widehat {EBC} = \widehat {CB{\rm{D}}}$ ( 2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau thì bằng nhau)

$\Rightarrow$ BK là phân giác của $\widehat {HBD}$

Lại có BK vuông góc với HD (giả thiết H là trực tâm của tam giác ABC). Suy ra BK vừa là đường cao vừa là đường phân giác của tam giác HBD nên  $∆BHD$ cân tại $B$

c) Vì $∆BHD$ cân nên đường cao $BK$ đồng thời là đường trung trực.

Điểm $C$ nằm trên đường trung trực của $HD$ nên $CH = CD$