Bài 98 trang 105 SGK Toán 9 tập 2
Cho đường tròn (O) và một điểm A cố định trên đường tròn. Tìm quỹ tích các trung điểm M của dây AB khi điểm B di động trên đường tròn đó.
Đề bài
Cho đường tròn \((O)\) và một điểm \(A\) cố định trên đường tròn. Tìm quỹ tích các trung điểm \(M\) của dây \(AB\) khi điểm \(B\) di động trên đường tròn đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Phần thuận: Lập luận để có \(\widehat {AMO} = 90^\circ \) suy ra quỹ tích điểm \(M\) là đường tròn đường kính \(AO.\)
+ Chứng minh phần đảo và kết luận.
Lời giải chi tiết
+) Phần thuận: Giả sử \(M\) là trung điểm của dây \(AB\). Do đó, \(OM \bot AB\) hay \(\widehat {AMO} = 90^\circ \). Khi \(B\) di động trên đường tròn \((O)\) điểm \(M\) luôn nhìn đoạn \(OA\) cố định dưới một góc vuông. Vậy quỹ tích của điểm \(M\) là đường tròn tâm \(I\) đường kính \(OA\).
+) Phần đảo: Lấy điểm \(M’\) bất kì trên đường tròn \((I)\). Nối \(M’\) với \(A\), đường thẳng \(M’A\) cắt đường tròn \((O)\) tại \(B’\). Nối \(M’\) với \(O\), ta có \(\widehat {AM'O} = {90^0}\) hay \(OM’ \bot AB’ \)
⇒ \(M\) là trung điểm của \(AB’\)
Kết luận: Tập hợp các trung điểm \(M\) của dây \(AB\) là đường tròn đường kính \(OA\).