Bài 96 trang 105 SGK Toán 9 tập 2
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và tia phân giác của góc A cắt đường tròn tại M.
Đề bài
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và tia phân giác của góc A cắt đường tròn tại M. Vẽ đường cao AH. Chứng minh rằng:
a) OM đi qua trung điểm của dây BC.
b) AM là tia phân giác của góc OAH.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) + Sử dụng hai góc nội tiếp bằng nhau chắn hai cung bằng nhau
+ Chỉ ra M là điểm chính giữa cung BC.
b) + Chứng minh OM//AH
+ Sử dụng tính chất hai đường thẳng song song và tính chất tam giác cân.
Lời giải chi tiết
a) Vì AM là tia phân giác của ^BAC nên ^BAM=^MAC
⇒ BM⏜=\overparen{MC} ( 2 góc nội tiếp bằng nhau thì chắn 2 cung bằng nhau)
\Rightarrow M là điểm chính giữa cung BC
Vậy OM \bot BC và OM đi qua trung điểm của BC (định lí)
b) Ta có : OM \bot BC và AH\bot BC nên AH//OM
\Rightarrow \widehat {HAM} = \widehat {AM{\rm{O}}} (2 góc so le trong) (1)
Vì OA=OM (= bán kính đường tròn (O)) nên ∆OAM cân tại O \Rightarrow \widehat {AM{\rm{O}}} = \widehat {MAO} (2)
Từ (1) và (2) \Rightarrow \widehat {HA{\rm{M}}} = \widehat {MAO}
Vậy AM là đường phân giác của góc \widehat {OAH}