Câu 10 trang 195 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

LG a

Tính \(f’(3)\) và \(f’(-4)\) nếu \(f(x) = {x^3}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \( f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \over {x - {x_0}}}\)

Lời giải chi tiết:

Với \(x_0\in\mathbb R\) ta có:

\(\eqalign{  & f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \over {x - {x_0}}}  \cr  &  = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {{{x^3} - x_0^3} \over {x - {x_0}}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {{x^2} + x{x_0} + x_0^2} \right)}}{{x - {x_0}}}\cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {x+ x{x_0} + x_0^2} \right) = 3x_0^2 \cr} \)

Suy ra \(f'\left( 3 \right) =3.3^2=27\)

\(f'\left( { - 4} \right) =3.(-4)^2= 48\)

LG b

Tính \(f’(1)\) và \(f’(9)\) nếu \(f\left( x \right) = \sqrt x \)

Lời giải chi tiết:

Với \(x_0> 0\) ta có :

\(\eqalign{  & f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \over {x - {x_0}}}  \cr  &  = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {{\sqrt x  - \sqrt {{x_0}} } \over {x - {x_0}}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sqrt x  - \sqrt {{x_0}} }}{{\left( {\sqrt x  - \sqrt {{x_0}} } \right)\left( {\sqrt x  + \sqrt {{x_0}} } \right)}}\cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {1 \over {\sqrt x  + \sqrt {{x_0}} }} = {1 \over {2\sqrt {{x_0}} }} \cr} \)

Suy ra: \(f'\left( 1 \right)  = \frac{1}{{2\sqrt 1 }} ={1 \over 2}\)

\(f'\left( 9 \right) = \frac{1}{{2\sqrt 9 }}= {1 \over 6}\)