Câu 11 trang 225 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Ta đã biết $\cos {\pi  \over {{2^2}}} = {1 \over 2}\sqrt 2 .$ Chứng minh rằng :

LG a

$\cos {\pi  \over {{2^3}}} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt 2 }$

Lời giải chi tiết:

$\eqalign{  & {\cos ^2}{\pi  \over {{2^3}}} = {\cos ^2}{\pi  \over 8} = {{1 + \cos {\pi  \over 4}} \over 2} = {{1 + {{\sqrt 2 } \over 2}} \over 2} \cr&= {{2 + \sqrt 2 } \over 4}  \cr  &  \Rightarrow \cos {\pi  \over {{2^3}}} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt 2 }  \cr}$

LG b

$\cos {\pi  \over {{2^n}}} = {1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt {....... + \sqrt 2 } } } }_{n - 1\,\text{ dấu căn}}$   (1)   với mọi số nguyên n ≥ 2.

Lời giải chi tiết:

Với n = 2 ta có $\cos {\pi  \over 4} = {1 \over 2}\sqrt 2 \,\,\left( 1 \right)$ đúng.

Giả sử (1) đúng với n = k tức là :

$\cos {\pi  \over {{2^k}}} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } }$ (k – 1 dấu căn)

Với n = k + 1 ta có

$\eqalign{  & {\cos ^2}{\pi  \over {{2^{k + 1}}}} = {1 \over 2}\left( {1 + \cos {\pi  \over {{2^k}}}} \right)  \cr  &  = {1 \over 2}\left( {1 + {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } } \right)  \cr  &  = {1 \over 4}\left( {2 + \sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } } \right)  \cr  &  \Rightarrow \cos {\pi  \over {{2^{k + 1}}}} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } \,\,\left( {k\,\text{ dấu căn}} \right) \cr}$

Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với $∀n ≥ 2$.