Câu 11 trang 106 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Cho hình vuông
Đề bài
Cho hình vuông A 1 B 1 C 1 D 1 có các cạnh bằng 6cm. Người ta dựng các hình vuông A 2 B 2 C 2 D 2 , A 3 B 3 C 3 D 3 , …, A n B n C n D n , … theo cách sau : Với mỗi n = 2, 3, 4, … lấy các điểm A n , B n , C n , và D n tương ứng trên các cạnh A n-1 B n-1 , B n-1 C n-1 , C n-1 D n-1 và D n-1 A n-1 sao cho A n-1 A n = 1cm và A n B n C n D n là một hình vuông (h.3.2). Xét dãy số (u n ) với u n là độ dài cạnh của hình vuông A n B n C n D n .
Hãy cho dãy số (u n ) nói trên bởi hệ thức truy hồi.
Lời giải chi tiết
Với mỗi n∈N∗, xét các hình vuông AnBnCnDn và An+1Bn+1Cn+1Dn+1, ta có
un+1=An+1Bn+1=√(An+1Bn)2+(BnBn+1)2=√(AnBn−1)2+12=√(un−1)2+1