Câu 12 trang 225 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Giải toán 11, giải bài tập toán 11 nâng cao, Toán 11 Nâng cao, đầy đủ đại số giải tích và hình học ÔN TẬP CUỐI NĂM ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH - TOÁN 11 NÂNG CAO


Câu 12 trang 225 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho dãy số (un) xác định bởi

Cho dãy số (u n ) xác định bởi

\({u_1} = 3\,\text{ và }\,{u_n} = 4{u_{n - 1}} - 1\) với mọi n ≥ 2

Chứng minh rằng :

LG a

\({u_n} = {{{2^{2n + 1}} + 1} \over 3}\)  (1)  với mọi số nguyên n ≥ 1

Lời giải chi tiết:

Với n = 1 ta có \({u_1} = 3 = {{{2^3} + 1} \over 3}\)

(1) đúng với n = 1

Giả sử (1) đúng với n = k tức là ta có : \({u_k} = {{{2^{2k + 1}} + 1} \over 3}\)

Ta chứng minh (1) đúng khi n=k+1 hay \({u_{k + 1}} = \dfrac{{{2^{2\left( {k + 1} \right) + 1}} + 1}}{3}\)

Với n = k + 1 ta có :

\(\eqalign{  & {u_{k + 1}} = 4{u_k} - 1 = 4.{{{2^{2k + 1}} + 1} \over 3} - 1 \cr &= {{4\left( {{2^{2k + 1}} + 1} \right) - 3} \over 3}  \cr  &  = {{{2^{2k + 3}} + 1} \over 3} = {{{2^{2\left( {k + 1} \right)+1}} + 1} \over 3} \cr} \)

Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với ∀ n ≥ 1

LG b

(u­ n ) là môt dãy số tăng.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{  & {u_{n + 1}} - {u_n} = {{{2^{2n + 3}} + 1} \over 3} - {{{2^{2n + 1}} + 1} \over 3} = {{{2^{2n + 1}}\left( {{2^2} - 1} \right)} \over 3}  \cr  &  = {2^{2n + 1}} > 0 \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n} \cr} \)

⇒ (u n ) là dãy số tăng.


Cùng chủ đề:

Câu 12 trang 102 SGK Hình học 11 Nâng cao
Câu 12 trang 106 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 12 trang 124 SGK Hình học 11 Nâng cao
Câu 12 trang 142 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 12 trang 195 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 12 trang 225 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 13 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 13 trang 18 SGK Hình học 11 Nâng cao
Câu 13 trang 51 SGK Hình học 11 Nâng cao
Câu 13 trang 63 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 13 trang 102 SGK Hình học 11 Nâng cao