Câu 17 trang 29 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ 40˚ bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số

$d\left( t \right) = 3\sin \left[ {{\pi \over {182}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12$ với $t \in Z$ và $0 < t \le 365.$

a. Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm ?

b. Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất ?

c. Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất ?

LG a

Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm ?

Lời giải chi tiết:

Ta giải phương trình $d(t) = 12$ với $t \in\mathbb Z$ và $0 < t ≤ 365$

Ta có $d(t) = 12$

$\Leftrightarrow 3\sin \left( {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right) + 12 = 12$

$\Leftrightarrow \sin \left[ {{\pi \over {182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = 0$

$\Leftrightarrow {\pi \over {182}}\left( {t - 80} \right) = k\pi$

$\Leftrightarrow t - 80 = 182k$

$\Leftrightarrow t = 182k + 80\,\left( {\,k \in\mathbb Z} \right)$

Ta lại có

$0 < 182k + 80 \le 365$

$\Leftrightarrow - {{80} \over {182}} < k \le {{285} \over {182}}$

$\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{k = 0} \cr {k = 1} \cr} } \right.$

Vậy thành phố $A$ có đúng $12$ giờ ánh sáng mặt trời vào ngày thứ $80$ (ứng với $k = 0$) và ngày thứ $262$ (ứng với $k = 1$) trong năm.

LG b

Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất ?

Lời giải chi tiết:

Do $\sin \left( {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right) \ge  - 1$ $\Rightarrow d\left( t \right) \le 3.\left( { - 1} \right) + 12 = 9$ với mọi $x$

Vậy thành phố $A$ có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất khi và chỉ khi :

$\sin \left[ {{\pi \over {182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = - 1$ $\text{ với }$ $\,t \in \mathbb Z\,\text { và }\,0 < t \le 365$

Phương trình đó cho ta

${\pi \over {182}}\left( {t - 80} \right) = - {\pi \over 2} + k2\pi$

$\Leftrightarrow t - 80 = 182\left( { - \frac{1}{2} + 2k} \right)$

$\Leftrightarrow t = 364k - 11\,\left( {\,k \in\mathbb Z} \right)$

Mặt khác,$0 < 364k - 11 \le 365$ $\Leftrightarrow {{11} \over {364}} < k \le {{376} \over {364}} \Leftrightarrow k = 1$ (do $k$ nguyên)

Vậy thành phố $A$ có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất ($9$ giờ) khi $t = 353$, tức là vào ngày thứ $353$ trong năm.

LG c

Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất ?

Lời giải chi tiết:

Vì $\sin \left( {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right) \le 1$ $\Rightarrow d\left( t \right) \le 3.1 + 12 = 15$ nên d(t) đạt GTLN khi $\sin \left( {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right) = 1$

Ta phải giải phương trình :

$\eqalign{ & \sin \left[ {{\pi \over {182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = 1\cr &\text{ với }\,t \in\mathbb Z\,\text{ và }\,0 < t \le 365 \cr & \Leftrightarrow {\pi \over {182}}\left( {t - 80} \right) = {\pi \over 2} + k2\pi \cr&\Leftrightarrow t = 364k + 171 \cr & 0 < 364k + 171 \le 365 \cr&\Leftrightarrow - {{171} \over {364}} < k \le {{194} \over {364}} \Leftrightarrow k = 0 \cr}$

Vậy thành phố $A$ có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất ($15$ giờ) vào ngày thứ $171$ trong năm.