Câu 17 trang 109 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Đề bài

Cho dãy số (u _n ) xác định bởi

$\displaystyle {u_1} = 1\,\text{ và }\,{u_{n + 1}} = {2 \over {u_n^2 + 1}}$ với mọi $\displaystyle n ≥ 1$

Chứng minh rằng (u _n ) là một dãy số không đổi (dãy có tất cả các số hạng đều bằng nhau).

Lời giải chi tiết

Ta có:

$\begin{array}{l} {u_1} = 1\\ {u_2} = \frac{2}{{u_1^2 + 1}} = \frac{2}{{{1^2} + 1}} = 1\\ {u_3} = \frac{2}{{u_2^2 + 1}} = \frac{2}{{{1^2} + 1}} = 1\\ ... \end{array}$

Do đó, dự đoán $\displaystyle u_n= 1$  (1) $\displaystyle ∀ n \in \mathbb N^*$.

Ta chứng minh bằng qui nạp như sau:

+) Rõ ràng (1) đúng với $\displaystyle n = 1$

+) Giả sử (1) đúng với $\displaystyle n = k$, tức là ta có $\displaystyle u_k = 1$

+) Ta chứng minh (1) đúng với $\displaystyle n = k + 1$.

Thật vậy theo công thức truy hồi và giả thiết quy nạp ta có :

$\displaystyle {u_{k + 1}} = {2 \over {u_k^2 + 1}} = {2 \over {1^2 + 1}}=1$

Vậy (1) đúng với $\displaystyle n = k + 1$, do đó (1) đúng với mọi $\displaystyle n \in \mathbb N^*$