Câu 18 trang 109 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Cho dãy số (s _n ) với  ${s_n} = \sin \left( {4n - 1} \right){\pi \over 6}.$

LG a

Chứng minh rằng ${s_n} = {s_{n + 3}}$ với mọi $n ≥ 1$

Lời giải chi tiết:

Với $n>1$ tùy ý, ta có :

$\eqalign{ & {s_{n + 3}} = \sin \left[ {4\left( {n + 3} \right) - 1} \right]{\pi \over 6} \cr & = \sin \left[ {4n - 1 + 12} \right]{\pi \over 6} \cr & = \sin \left[ {\left( {4n - 1} \right){\pi \over 6} + 2\pi } \right] \cr & = \sin \left( {4n - 1} \right){\pi \over 6} = {s_n} \cr}$

LG b

Hãy tính tổng $15$ số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.

Lời giải chi tiết:

Từ kết quả phần a ta có :

$\eqalign{ & {s_1} = {s_4} = {s_7} = {s_{10}} = {s_{13}}, \cr & {s_2} = {s_5} = {s_8} = {s_{11}} = {s_{14}}, \cr & {s_3} = {s_6} = {s_9} = {s_{12}} = {s_{15}} \cr}$

Từ đó suy ra :

${s_1} + {s_2} + {s_3}$

$= {s_4} + {s_5}{ + s_6}$

$= {s_7} + {s_8} + {s_9}$

$= {s_{10}} + {s_{11}} + {s_{12}}$

$= {s_{13}} + {s_{14}} + {s_{15}}$

Do đó:

${S_{15}} = {s_1} + {s_2} + ... + {s_{15}}$

$=({s_1} + {s_2} + {s_3})$+$({s_4} + {s_5}{ + s_6})$+...+$( {s_{13}} + {s_{14}} + {s_{15}})$

$= 5\left( {{s_1} + {s_2} + {s_3}} \right)$

Ta có:

$\begin{array}{l} {s_1} = \sin \left[ {\left( {4.1 - 1} \right).\frac{\pi }{6}} \right] = \sin \frac{\pi }{2} = 1\\ {s_2} = \sin \left[ {\left( {4.2 - 1} \right).\frac{\pi }{6}} \right] = \sin \frac{{7\pi }}{6}\\ = \sin \left( {\pi + \frac{\pi }{6}} \right) = - \sin \frac{\pi }{6} = - \frac{1}{2}\\ {s_3} = \sin \left[ {\left( {4.3 - 1} \right).\frac{\pi }{6}} \right] = \sin \frac{{11\pi }}{6}\\ = \sin \left( {2\pi - \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) = - \frac{1}{2} \end{array}$

Do đó ${s_1} = 1,{s_2} = - {1 \over 2}\,\text{ và }\,{s_3} = - {1 \over 2}$

$\Rightarrow {s_1} + {s_2} + {s_3} = 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$

$\Rightarrow {s_{15}} =5.0= 0$