Câu 19 trang 19 SGK Hình học 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng $\Delta :ax + by + c = 0$ và điểm $I\left( {{x_0};{y_o}} \right)$. Phép đối xứng tâm ${D_I}$ biến đường thẳng $△$ thành đường thẳng $△’$. Viết phương trình của $△’$

Lời giải chi tiết

Giả sử $M (x , y) \in △$ và $M’ (x’ , y') \in △’$ và I là trung điểm của MM’ nên:

$\left\{ \begin{array}{l} {x_0} = \frac{{x + x'}}{2}\\ {y_0} = \frac{{y + y'}}{2} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + x' = 2{x_0}\\ y + y' = 2{y_0} \end{array} \right.$

$\Rightarrow \left\{ {\matrix{{x = 2{x_0} - x'} \cr {y = 2{y_0} - y'} \cr} } \right.$

$M(x , y) ∈△$ nên

$\begin{array}{l} a\left( {2{x_0} - x'} \right) + b\left( {2{y_0} - y'} \right) + c = 0\\ \Leftrightarrow 2a{x_0} - ax' + 2b{y_0} - by' + c = 0\\ \Leftrightarrow 2a{x_0} + 2b{y_0} + c = ax' + by'\\ \Leftrightarrow ax' + by' - \left( {2a{x_0} + 2b{y_0} + c} \right) = 0 \end{array}$

Vậy M’ nằm trên đường thẳng ảnh $△’$ có phương trình:

$ax + by - \left( {2a{x_0} + 2b{y_0} + c} \right) = 0$