Câu 19 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Giải toán 11, giải bài tập toán 11 nâng cao, Toán 11 Nâng cao, đầy đủ đại số giải tích và hình học Bài 2: Hai đường thẳng song song


Câu 19 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao

Cho tứ diện ABCD. Bốn điểm P, Q, R, S lần lượt nằm trên bốn cạnh AB, BC, CD, DA và không trùng với các đỉnh của tứ diện. Chứng minh rằng

Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Bốn điểm P, Q, R, S lần lượt nằm trên bốn cạnh AB, BC, CD, DA và không trùng với các đỉnh của tứ diện. Chứng minh rằng

a. Bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng khi và chỉ khi ba đường thẳng PQ, RS, AC hoặc đôi một song song hoặc đồng quy

b. Bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng khi và chỉ khi ba đường thẳng PS, RQ, BD hoặc đôi một song song hoặc đồng quy

Lời giải chi tiết

a. Nếu P, Q, R, S đồng phẳng thì chúng cùng thuộc mặt phẳng (PQRS).

Ta có:

(PQRS) ∩ (ABC) = PQ

(PQRS) ∩ (ACD) = RS

(ABC) ∩ (ACD) = AC

Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì PQ, SR, AC hoặc đôi một song song hoặc đồng quy.

Ngược lại, nếu ba đường thẳng PQ, AC, RS hoặc đôi một song song hoặc đồng quy thì hai đường thẳng PQ và RS cùng thuộc một mặt phẳng, từ đó bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng.

b. Nếu P, Q, R, S đồng phẳng thì chúng cùng thuộc mặt phẳng (PQRS).

Ta có:

(PQRS) ∩ (ABD) = PS

(PQRS) ∩ (BCD) = RQ

(ABD) ∩ (BCD) = BD

Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì PS, RQ, BD hoặc đôi một song song hoặc đồng quy.

Ngược lại, nếu ba đường thẳng PS, RQ, BD hoặc đôi một song song hoặc đồng quy thì hai đường thẳng PS và RQ cùng thuộc một mặt phẳng, từ đó bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng.


Cùng chủ đề:

Câu 18 trang 143 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 18 trang 204 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 18 trang 226 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 19 trang 19 SGK Hình học 11 Nâng cao
Câu 19 trang 29 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 19 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao
Câu 19 trang 67 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 19 trang 103 SGK Hình học 11 Nâng cao
Câu 19 trang 114 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 19 trang 143 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 19 trang 204 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao