Câu 19 trang 103 SGK Hình học 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Giải toán 11, giải bài tập toán 11 nâng cao, Toán 11 Nâng cao, đầy đủ đại số giải tích và hình học Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng


Câu 19 trang 103 SGK Hình học 11 Nâng cao

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a và SA = SB = SC = b. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

Đề bài

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a và SA = SB = SC = b. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

a. Chứng minh rằng SG ⊥ (ABC). Tính SG.

b. Xét mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng SC. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để (P) cắt SC tại điểm C 1 nằm giữa S và C. Khi đó hãy tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABC khi cắt bởi mp(P).

Lời giải chi tiết

a. Gọi I là trung điểm của BC.

Tam giác ABC đều, AI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao: BC ⊥ AI.

Tam giác SBC có SB = SC, SI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao: BC ⊥ SI.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow BC \bot (SAI) \supset SG\\ \Rightarrow BC \bot SG.\,\,\, (1) \end{array}\)

Chứng minh tương tự ta có: \(AB \bot SG\,\,\, (1)\)

Từ (1;2) suy ra \(SG \bot (ABC)\)

\(\begin{array}{l} +) \, SI^2 ={S{C^2} - I{C^2}} ={{b^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} \\ +) \, GI = \frac{1}{3}AI;\, AI ^2 = {A{B^2} - B{I^2}} =a.\frac{{3 }}{4} \Rightarrow GI= \frac{{a\sqrt 3 }}{6}. \end{array}\)

\(\Rightarrow SG = \sqrt {S{I^2} - G{I^2}}  = \sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{4} - {{{a^2}} \over {12}}} \) \( = \sqrt {{{12{b^2} - 4{a^2}} \over {12}}}\) \(  = \sqrt {{{3{b^2} - {a^2}} \over 3}} \)

b. Kẻ AC 1 ⊥ SC thì (P) chính là mp(ABC 1 )

Vì SAC là tam giác cân mà AC 1 ⊥ SC nên C 1 nằm giữa S và C khi và chỉ khi

\(\widehat {ASC} < 90^\circ  \Leftrightarrow A{S^2} + C{S^2} > A{C^2} \) \(\Leftrightarrow 2{b^2} > {a^2}\)

Ta có : AB ⊥ GC và AB ⊥ SG ⇒ AB ⊥ SC

SC ⊥ AC 1 và SC ⊥ AB nên SC ⊥ (ABC 1 )

Thể tích tứ diện SABC là :

\(\eqalign{  & {V_{SABC}} = {1 \over 3}SG.{S_{ABC}} = {1 \over 3}SC.{S_{AB{C_1}}}  \cr  &  \Rightarrow {S_{AB{C_1}}} = {{SG.{S_{ABC}}} \over {SC}} \cr &= {{\sqrt {{{3{b^2} - {a^2}} \over 3}} .{{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}} \over b} = {{{a^2}\sqrt {3{b^2} - {a^2}} } \over {4b}} \cr} \)


Cùng chủ đề:

Câu 18 trang 226 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 19 trang 19 SGK Hình học 11 Nâng cao
Câu 19 trang 29 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 19 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao
Câu 19 trang 67 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 19 trang 103 SGK Hình học 11 Nâng cao
Câu 19 trang 114 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 19 trang 143 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 19 trang 204 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 19 trang 226 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 20 trang 23 SGK Hình học 11 Nâng cao