Câu 24 trang 111 SGK Hình học 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và SA ⊥ (ABCD), SA = x. Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc 60˚.

Lời giải chi tiết

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Trong mặt phẳng (SAC) kẻ OO ₁ vuông góc với SC.

Vậy góc giữa hai mp(SBC) và (SDC) bằng góc giữa hai đường thẳng BO ₁ và DO ₁ .

Mặt khác OO ₁ ⊥ BD, OO ₁ < OC (vì OC là cạnh huyền của $\Delta O{O_1}C$ vuông tại O1) mà OC = OB nên $\widehat {B{O_1}O} > 45^\circ .$

Tương tự $\widehat {D{O_1}O} > 45^\circ$ tức $\widehat {B{O_1}D} >90^\circ$

Như vậy hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc $60^\circ$ khi và chỉ khi:

$\widehat {B{O_1}D} =120^\circ$ $\Leftrightarrow$ $\widehat {B{O_1}O} = 60^\circ$ (vì ΔBO ₁ D cân tại O ₁ )

$\Leftrightarrow BO = O{O_1}\tan 60^\circ$ $\Leftrightarrow BO = O{O_1}\sqrt 3$

Ta có $O{O_1} \bot SC$ nên $\widehat {O{O_1}C} = {90^0}$

Xét tam giác $CO{O_1}$ vuông tại ${O_1}$ có:

$O{O_1} = OC\sin \widehat {OC{O_1}} = OC\sin \widehat {ACS}$ $= OC.{{SA} \over {SC}}$

Như vậy : $BO = O{O_1}\sqrt 3  \Leftrightarrow BO = \sqrt 3 .OC.{{SA} \over {SC}}$ $\Leftrightarrow SC = \sqrt 3 .SA$

$\Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 2{a^2}}  = \sqrt 3 .x \Leftrightarrow x = a$

Vậy khi x = a thì hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc 60˚