Câu 24 trang 67 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Đề bài

Biết rằng hệ số của ${x^{n - 2}}$ trong khai triển ${\left( {x - {1 \over 4}} \right)^n}$ bằng $31$. Tìm $n$.

Lời giải chi tiết

Ta có:

${\left( {x - {1 \over 4}} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{x^{n - k}}{{\left( { - {1 \over 4}} \right)}^k}}$

Hệ số của $x^{n-2}$ (ứng với k=2) là $C_n^2{\left( { - {1 \over 4}} \right)^2}$

Theo bài ra: $C_n^2{\left( { - {1 \over 4}} \right)^2} = 31$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}.\frac{1}{{16}} = 31\\ \Leftrightarrow \frac{{{n^2} - n}}{{32}} = 31\\ \Leftrightarrow {n^2} - n = 992\\ \Leftrightarrow {n^2} - n - 992 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} n = 32\left( {TM} \right)\\ n = - 31\left( {loai} \right) \end{array} \right. \end{array}$

Vậy n=32.