Câu 25 trang 205 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Đề bài

Viết phương trình tiếp tuyến của parabol $y = {x^2}$ , biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0 ; -1).

Hướng dẫn : Trước hết viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x ₀ thuộc parabol đã cho. Sau đó tìm x ₀ để tiếp tuyến đi qua điểm A (chú ý rằng điểm A không thuộc parabol).

Lời giải chi tiết

Đặt $f\left( x \right) = {x^2}$ và gọi M ₀ là điểm thuộc (P) với hoành độ x ₀ . Khi đó tọa độ của điểm M ₀ là $\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\,hay\,\left( {{x_0};x_0^2} \right)$

Cách 1 : Ta có: $y’ = 2x$. Phương trình tiếp điểm của (P) tại điểm M ₀ là

$y = 2{x_0}\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^2 \Leftrightarrow y = 2{x_0}x - x_0^2$

Tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0 ; -1) nên ta có :

$- 1 = 2{x_0}.0 - x_0^2 \Leftrightarrow {x_0} =  \pm 1$

+ Với x ₀ = 1 thì f(x ₀ ) = 1, f ’(x ₀ ) = 2 và phương trình tiếp tuyến phải tìm là :

$y = 2\left( {x - 1} \right) + 1 \Leftrightarrow y = 2x - 1$

+ Với x ₀ = -1 thì f(x ₀ ) = 1, f ’(x ₀ ) = -2

và phương trình tiếp tuyến phải tìm là :

$y =  - 2\left( {x + 1} \right) + 1 \Leftrightarrow y =  - 2x - 1$

Vậy có hai tiếp tuyến của (P) đi qua

A với các phương trình tương ứng là: $y = ±2x – 1$

Cách 2 : Phương trình đường thẳng (d) đi qua A(0 ; -1) với hệ số góc k là :

$y = kx - 1$

Để (d) tiếp xúc (P) tại điểm M ₀ điều kiện cần và đủ là:

$\left\{ {\matrix{   {f\left( {{x_0}} \right) = k{x_0} - 1}  \cr   {f'\left( {{x_0}} \right) = k}  \cr  } } \right.\,hay\,\left\{ {\matrix{   {x_0^2 = k{x_0} - 1}  \cr   {2{x_0} = k}  \cr  } } \right.$

Khử x ₀ từ hệ này ta tìm được $k = ±2$.

Vậy có hai tiếp tuyến của (P) đi qua điểm A(0 ; -1) với các phương trình là :

$y =  \pm 2x - 1$