Câu 25 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hai mặt phẳng vuông góc $(P)$ và $(Q)$ có giao tuyến $Δ$. Lấy $A, B$ cùng thuộc $Δ$ và lấy $C ϵ (P), D ϵ (Q)$ sao cho $AC ⊥ AB, BD ⊥ AB$ và $AB = AC = BD$. Xác định thiết diện của tứ diện $ABCD$ khi cắt bởi mặt phẳng $(α)$ đi qua điểm $A$ và vuông góc với $CD$. Tính diện tích thiết diện khi $AC = AB = BD = a.$

Lời giải chi tiết

+) Xác định mặt phẳng $(α)$ và thiết diện.

Gọi $I$ là trung điểm của $BC$.

Ta có: $AI ⊥ BC$ vì $AC=AB$. (1)

Do $BD ⊥ AB$ - là giao tuyến chung nên $BD ⊥ mp(ABC) \Rightarrow BD ⊥ AI.$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow AI ⊥ (DBC) \subset DC .$

Trong $mp(DCB)$, từ $I$, kẻ $IJ ⊥ CD (J ϵ CD)$

$\Rightarrow DC ⊥ AI$ và $DC ⊥ IJ$

$\Rightarrow DC ⊥ (AIJ)$

Vậy $mp(AIJ)$ chính là mặt phẳng $(α)$ và thiết diện phải tìm là tam giác $AIJ$.

+) Tính diện tích tam giác $AIJ$

Ta có: tam giác $AIJ$ vuông tại $I$ vì $AI ⊥ (DBC) \subset IJ .$

Vậy ${S_{AIJ}} = \frac{1}{2}.AI.IJ$

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt 2 a$

Và $AI = CI = BI = \frac{{BC}}{2} = \frac{{\sqrt 2 a}}{2}$

Lại có: $\Delta CIJ$ đồng dạng với $\Delta CDB$ (chung góc $C$ và $\hat J = \hat B = 90^0$)

$\Rightarrow \frac{{IJ}}{{DB}} = \frac{{CI}}{{CD}} \Rightarrow IJ = DB.\frac{{CI}}{{CD}}$

Mà $DB = a,\;\;CI = \frac{{\sqrt 2 a}}{2};\;\;CD = \sqrt {B{C^2} + B{D^2}}  = \sqrt 3 a$

$\Rightarrow IJ = a.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}:\sqrt 3 a = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}$

$\Rightarrow {S_{AIJ}} = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\frac{{a\sqrt 6 }}{6} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{12}}$