Câu 25 trang 32 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính $2,5m$ ;trục của nó đặt cách mặt nước $2m$ (h.1.24). Khi guồng quay đều, khoảng cách $h$ (mét) từ một chiếc gầu gắntại điểm $A$ của guồng đến mặt nước được tính theo công thức $h = |y|$, trong đó

$y = 2 + 2,5\sin \left[ {2\pi \left( {x - {1 \over 4}} \right)} \right]$

Với $x$ là thời gian quay guồng ($x ≥ 0$), tính bằng phút ; ta quy ước rằng $y > 0$ khi gầu ở bên trên mặt nước và $y < 0$ khi gầu ở dưới nước (xem bài đọc thêm về dao động điều hòa trang 15). Hỏi :

LG a

Khi nào thì chiếc gầu ở vị trí thấp nhất ?

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\sin \left[ {2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right)} \right] \ge  - 1$ $\Rightarrow y \ge 2 + 2,5.\left( { - 1} \right) =  - 0,5$

Chiếc gầu ở vị trí thấp nhất khi $\sin \left[ {2\pi \left( {x - {1 \over 4}} \right)} \right] = - 1.$ Ta có :

$\sin \left[ {2\pi \left( {x - {1 \over 4}} \right)} \right] = - 1$

$\Leftrightarrow 2\pi \left( {x - {1 \over 4}} \right) = - {\pi \over 2} + k2\pi$

$\Leftrightarrow x - \frac{1}{4} =  - \frac{1}{4} + k$

$\Leftrightarrow x = k\,\left( {\,k \in\mathbb Z} \right)$

Điều đó chứng tỏ rằng chiếc gầu ở vị trí thấp nhất tại các thời điểm 0 phút ; 1 phút ; 2 phút ; 3 phút…

LG b

Khi nào thì chiếc gầu ở vị trí cao nhất ?

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\sin \left[ {2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right)} \right] \le   1$ $\Rightarrow y \le 2 + 2,5.1 =  4,5$

Chiếc gầu ở vị trí cao nhất khi $\sin \left[ {2\pi \left( {x - {1 \over 4}} \right)} \right] = 1.$ Ta có :

$\sin \left[ {2\pi \left( {x - {1 \over 4}} \right)} \right] = 1$

$\Leftrightarrow 2\pi \left( {x - {1 \over 4}} \right) = {\pi \over 2} + k2\pi$

$\Leftrightarrow x - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} + k$

$\Leftrightarrow x = {1 \over 2} + k\,\left( {\,k \in N} \right)$

Điều đó chứng tỏ chiếc gàu ở vị trí cao nhất tại các thời điểm 0,5 phút; 1,5 phút ; 2,5 phút ; 3,5 phút …

LG c

Chiếc gầu cách mặt nước $2m$ lần đầu tiên khi nào ?

Lời giải chi tiết:

Chiếc gàu cách mặt nước 2 mét khi:

$\begin{array}{l} 2 + 2,5\sin \left[ {2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right)} \right] = 2\\ \Leftrightarrow 2,5\sin \left[ {2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \sin \left[ {2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow 2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right) = k\pi \\ \Leftrightarrow x - \frac{1}{4} = \frac{k}{2}\\ \Leftrightarrow x = \frac{k}{2} + \frac{1}{4} \end{array}$

Nghĩa là tại các thời điểm $x = {1 \over 4} + {1 \over 2}k$ (phút) thì chiếc gầu cách mặt nước 2m;

Do đó lần đầu tiên nó cách mặt nước 2 mét khi quay được ${1 \over 4}$ phút (ứng với $k = 0$).