Câu 25 trang 227 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Đề bài

Một điểm M chuyển động trên parabol $y =  - {x^2} + 17x - 66$ theo hướng tăng của x. Một người quan sát đứng ở vị trí P(2 ; 0)

Hãy xác định các giá trị của hoành độ điểm M để người quan sát có thể nhìn thấy được điểm M.

Lời giải chi tiết

Người quan sát thấy được điểm M nếu M thuộc phần parabol nằm trong góc tạo bởi hai tiếp tuyến của parabol đi qua P(2 ; 0). Điều đó tương đương với bất đẳng thức kép x ₁ ≤ m ≤ x ₂ ; trong đó m là hoành độ của điểm M, x ₁ và x ₂ là hoành độ hai tiếp điểm. Ta cần xác định x ₁ và x ₂ .

Phương trình đường thẳng (d) đi qua P(2 ; 0) với hệ số góc bằng k là :

$y = k(x – 2)$

Để (d) là tiếp tuyến của parabol $y =  - {x^2} + 17x - 66$ thì ta phải có :

$\left\{ {\matrix{   { - {x^2} + 17x - 66 = k\left( {x - 2} \right)}  \cr   { - 2x + 17 = k}  \cr  } } \right.$

Thế k=-2x+17 vào phương trình trên ta được:

$$\begin{array}{l} - {x^2} + 17x - 66 = \left( { - 2x + 17} \right)\left( {x - 2} \right)\\ \Leftrightarrow - {x^2} + 17x - 66 = - 2{x^2} + 21x - 34\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 32 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 8\\ x = - 4 \end{array} \right. \end{array}$$

(x=8 và x=-4 chính là hai hoành độ tiếp điểm của hai tiếp tuyến kẻ từ P(2 ; 0) đến parabol đã cho).

Vậy người quan sát có thể nhìn được các điểm M thuộc parabol đã cho, nếu hoành độ điểm M thuộc đoạn [-4 ; 8].