Câu 26 trang 115 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Đề bài

Hãy chứng minh định lí 3: ${S_n} = {{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)} \over 2}$.

Lời giải chi tiết

Ta sẽ chứng minh ${S_n} = {{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)} \over 2}$ (1)

+) Với mọi $n \in \mathbb N^*$, bằng phương pháp qui nạp.

+) Với $n = 1$, ta có ${S_1} = {u_1} = {{1\left( {{u_1} + {u_1}} \right)} \over 2}.$ Như vậy (1) đúng với $n = 1$.

+) Giả sử (1) đúng khi $n = k, k  \in \mathbb N^*$, tức là:

${S_k} = {{k\left( {{u_1} + {u_k}} \right)} \over 2}$

+) Ta chứng minh (1) đúng với $n=k+1$

$\eqalign{ & {S_{k + 1}} = {S_k} + {u_{k + 1}} \cr & = {{k\left( {{u_1} + {u_k}} \right)} \over 2} + {u_{k + 1}} \cr & = {{k\left( {{u_1} + {u_{k + 1}} - d} \right) + 2{u_{k + 1}}} \over 2} \cr & = {{k{u_1} + \left( {k + 1} \right){u_{k + 1}} + {u_{k + 1}} - kd} \over 2} \cr & = {{k{u_1} + \left( {k + 1} \right){u_{k + 1}} + {u_1}} \over 2} \cr & = {{\left( {k + 1} \right)\left( {{u_1} + {u_{k + 1}}} \right)} \over 2} \cr}$

Vậy (1) đúng với $n = k + 1$

Vậy (1) đúng với mọi $n \in \mathbb N^*$.

Cách khác :

Ta có:

$\eqalign{& \left\{ {\matrix{{{S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{n - 1}} + {u_n}} \cr {{S_n} = {u_n} + {u_{n - 1}} + ... + {u_2} + {u_1}} \cr} } \right. \cr & \Rightarrow 2{S_n} = \left( {{u_1} + {u_n}} \right) + \left( {{u_2} + {u_{n - 1}}} \right) \cr&+ ... + \left( {{u_{n - 1}} + {u_2}} \right) + \left( {{u_n} + {u_1}}\right) \cr}$

Mà ${u_1} + {u_n}= {u_2} + {u_{n - 1}}$$= {u_3} + {u_{n - 2}} = ... = {u_n} + {u_1}$

Do đó  $2{S_n} = n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)$

$\Rightarrow {S_n} = {n \over 2}\left( {{u_1} + {u_n}} \right)$