Câu 26 trang 115 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Giải toán 11, giải bài tập toán 11 nâng cao, Toán 11 Nâng cao, đầy đủ đại số giải tích và hình học Bài 3. Cấp số cộng


Câu 26 trang 115 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Hãy chứng minh định lí 3.

Đề bài

Hãy chứng minh định lí 3: \({S_n} = {{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)} \over 2}\).

Lời giải chi tiết

Ta sẽ chứng minh \({S_n} = {{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)} \over 2}\) (1)

+) Với mọi \(n \in \mathbb N^*\), bằng phương pháp qui nạp.

+) Với \(n = 1\), ta có \({S_1} = {u_1} = {{1\left( {{u_1} + {u_1}} \right)} \over 2}.\) Như vậy (1) đúng với \(n = 1\).

+) Giả sử (1) đúng khi \(n = k, k  \in \mathbb N^*\), tức là:

\({S_k} = {{k\left( {{u_1} + {u_k}} \right)} \over 2}\)

+) Ta chứng minh (1) đúng với \(n=k+1\)

\(\eqalign{ & {S_{k + 1}} = {S_k} + {u_{k + 1}} \cr & = {{k\left( {{u_1} + {u_k}} \right)} \over 2} + {u_{k + 1}} \cr & = {{k\left( {{u_1} + {u_{k + 1}} - d} \right) + 2{u_{k + 1}}} \over 2} \cr & = {{k{u_1} + \left( {k + 1} \right){u_{k + 1}} + {u_{k + 1}} - kd} \over 2} \cr & = {{k{u_1} + \left( {k + 1} \right){u_{k + 1}} + {u_1}} \over 2} \cr & = {{\left( {k + 1} \right)\left( {{u_1} + {u_{k + 1}}} \right)} \over 2} \cr} \)

Vậy (1) đúng với \(n = k + 1\)

Vậy (1) đúng với mọi \(n \in \mathbb N^*\).

Cách khác :

Ta có:

\(\eqalign{& \left\{ {\matrix{{{S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{n - 1}} + {u_n}} \cr {{S_n} = {u_n} + {u_{n - 1}} + ... + {u_2} + {u_1}} \cr} } \right. \cr & \Rightarrow 2{S_n} = \left( {{u_1} + {u_n}} \right) + \left( {{u_2} + {u_{n - 1}}} \right) \cr&+ ... + \left( {{u_{n - 1}} + {u_2}} \right) + \left( {{u_n} + {u_1}}\right) \cr} \)

Mà \({u_1} + {u_n}= {u_2} + {u_{n - 1}} \)\(= {u_3} + {u_{n - 2}} = ... = {u_n} + {u_1}\)

Do đó  \(2{S_n} = n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)\)

\(\Rightarrow {S_n} = {n \over 2}\left( {{u_1} + {u_n}} \right)\)


Cùng chủ đề:

Câu 26 trang 29 SGK Hình học 11 Nâng cao
Câu 26 trang 32 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 26 trang 59 SGK Hình học 11 Nâng cao
Câu 26 trang 75 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 26 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao
Câu 26 trang 115 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 26 trang 158 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 26 trang 205 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 27 trang 29 SGK Hình học 11 Nâng cao
Câu 27 trang 41 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 27 trang 60 SGK Hình học 11 Nâng cao