Câu 27 trang 158 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Tìm các giới hạn sau (nếu có) :

LG a

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{\left| {x - 2} \right|} \over {x - 2}}$

Phương pháp giải:

Phá dấu giá trị tuyệt đối dựa vào điều kiện của x.

Chú ý: $x \to x_0^ +$ nghĩa là $x \to x_0$ và $x > x_0$.

$x \to x_0^ -$ nghĩa là $x \to x_0$ và $x < x_0$.

$\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l} x\,\,\,\,neu\,x \ge 0\\ - x\,neu\,x < 0 \end{array} \right.$

Lời giải chi tiết:

Với mọi $x > 2$, ta có x-2>0 nên $\left| {x - 2} \right| = x - 2.$ Do đó :

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{\left| {x - 2} \right|} \over {x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{x - 2} \over {x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} 1 = 1$

LG b

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{\left| {x - 2} \right|} \over {x - 2}}$

Lời giải chi tiết:

Với mọi $x < 2$, ta có x-2<0 nên $|x – 2| = 2 – x$. Do đó :

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{\left| {x - 2} \right|} \over {x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{2 - x} \over {x - 2}}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} - 1 = - 1$

LG c

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{\left| {x - 2} \right|} \over {x - 2}}$

Phương pháp giải:

Điều kiện tồn tại giới hạn:

Hàm số y=f(x) tồn tại giới hạn hữu hạn $L$ tại $x_0$ nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right)=L$

Lời giải chi tiết:

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{\left| {x - 2} \right|} \over {x - 2}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{\left| {x - 2} \right|} \over {x - 2}}$ nên không tồn tại  $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{\left| {x - 2} \right|} \over {x - 2}}$