Câu 3 trang 130 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Chứng minh rằng các dãy số (u _n ) sau đây có giới hạn 0 :

LG a

${u_n} = {\left( {0,99} \right)^n}$

Phương pháp giải:

Sử dụng các định lý:

+) Cho hai dãy số $\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)$.

Nếu $\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}$ với mọi n và $\lim {v_n} = 0$ thì $\lim {u_n} = 0$.

+) Nếu $\left| q \right| < 1$ thì $\lim {q^n} = 0$.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\left| {0,99} \right| < 1$ nên $\lim {u_n} = \lim {\left( {0,99} \right)^n} = 0$

LG b

${u_n} = {{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {{2^n} + 1}}$

Lời giải chi tiết:

$\eqalign{ & \left| {{u_n}} \right| = \left| {{{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {{2^n} + 1}}} \right| = {1 \over {{2^n} + 1}}\cr & <\frac{1}{{{2^n}}} =  {\left( {{1 \over 2}} \right)^n}\cr &\lim {\left( {{1 \over 2}} \right)^n} = 0 \cr & \Rightarrow \lim {u_n} = 0 \cr}$

LG c

${u_n} = - {{\sin {{n\pi } \over 5}} \over {{{\left( {1,01} \right)}^n}}}$

Lời giải chi tiết:

$\eqalign{ & \left| {{u_n}} \right| = {{\left| {\sin {{n\pi } \over 5}} \right|} \over {{{\left( {1,01} \right)}^n}}} \le \frac{1}{{1,{{01}^n}}} = {\left( {{1 \over {1,01}}} \right)^n},\cr &\lim {\left( {{1 \over {1,01}}} \right)^n} = 0 \Rightarrow \lim {u_n} = 0 \cr}$