Câu 3 trang 192 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm x ₀ (a là hằng số).

LG a

$y = ax + 3$

Phương pháp giải:

- Tính $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$

- Tìm giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$

Lời giải chi tiết:

$f(x) = ax + 3$, cho x ₀ một số gia Δx, ta có:

$\eqalign{  & \Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)  \cr  &  = a\left( {{x_0} + \Delta x} \right) + 3 - \left( {a{x_0} + 3} \right)\cr & = a\Delta x  \cr  &  \Rightarrow {{\Delta y} \over {\Delta x}} = a\cr & \Rightarrow f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta y} \over {\Delta x}} = a \cr}$

LG b

$y = {1 \over 2}a{x^2}$

Lời giải chi tiết:

$\eqalign{  & f\left( x \right) = {1 \over 2}a{x^2}\cr &\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)  \cr  &  = {1 \over 2}a{\left( {{x_0} + \Delta x} \right)^2} - {1 \over 2}ax_0^2  \cr  & = \frac{1}{2}ax_0^2 + a{x_0}\Delta x + \frac{1}{2}a{\left( {\Delta x} \right)^2} - \frac{1}{2}ax_0^2\cr &   = a{x_0}\Delta x + \frac{1}{2}a{\left( {\Delta x} \right)^2}  \cr  & = \Delta x\left( {a{x_0} + \frac{1}{2}a\Delta x} \right)\cr &  \Rightarrow f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta y} \over {\Delta x}}  \cr  &  = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {a{x_0} + \frac{1}{2}a\Delta x} \right) = a{x_0} \cr}$