Câu 4 trang 14 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Đề bài

Cho các hàm số $f(x) = \sin x,$ $g(x) = \cos x,$ $h(x) = \tan x$ và các khoảng

${J_1} = \left( {\pi ;{{3\pi } \over 2}} \right);{J_2} = \left( { - {\pi \over 4};{\pi \over 4}} \right);$ ${J_3} = \left( {{{31\pi } \over 4};{{33\pi } \over 4}} \right);{J_4} = \left( { - {{452\pi } \over 3};{{601\pi } \over 4}} \right)$

Hỏi hàm số nào trong ba hàm số trên đồng biến trên khoảng $J_1$ ? Trên khoảng $J_2$ ? Trên khoảng $J_3$ ? Trên khoảng $J_4$ ? (Trả lời bằng cách lập bảng).

Lời giải chi tiết

Ta có:

+) ${J_1} = \left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right) \subset \left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right)$ nên hàm số $y = \sin x$ nghịch biến trên ${J_1}$, hàm số $y = \tan x$ đồng biến trên ${J_1}$.

${J_1} = \left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right) \subset \left( {\pi ;2\pi } \right)$ nên hàm số $y = \cos x$ đồng biến trên ${J_1}$

+) ${J_2} = \left( { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right) \subset \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$ nên hàm số $y = \sin x$ đồng biến trên ${J_2}$, hàm số $y = \tan x$ đồng biến trên ${J_2}$.

${J_2} = \left( { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right)$$= \left( { - \frac{\pi }{4};0} \right) \cup \left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right)$ nên hàm số $y = \cos x$ chỉ đồng biến trên $\left( {\frac{\pi }{4};0} \right)$ và nghịch biến trên $\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)$ nên hàm số $y = \cos x$ không đồng biến trên ${J_2}$

+) ${J_3} = \left( {\frac{{31\pi }}{4};\frac{{33\pi }}{4}} \right)$ $= \left( {8\pi  - \frac{\pi }{4};8\pi  + \frac{\pi }{4}} \right)$ nên hàm số $y = \sin x$ đồng biến trên ${J_3}$, hàm số $y = \tan x$ đồng biến trên ${J_3}$, hàm số $y = \cos x$ không đồng biến trên ${J_3}$

+) ${J_4} = \left( { - \frac{{452\pi }}{3};\frac{{601\pi }}{4}} \right)$ $= \left( { - 150\pi  - \frac{{2\pi }}{3}; - 150\pi  - \frac{\pi }{4}} \right)$ nên hàm số $y = \sin x$, $y = \tan x$ không đồng biến trên ${J_4}$, hàm số $y = \cos x$ đồng biến trên ${J_4}$

Ta có bảng sau, trong đó dấu “ +” có nghĩa “đồng biến”, dấu “0” có nghĩa “không đồng biến” :