Câu 4 trang 34 SGK Hình học 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Đề bài

Cho vecto $\overrightarrow u$ và điểm O. Với điểm M bất kì, ta gọi M ₁ là điểm đối xứng với M qua O và M’ là điểm sao cho $\overrightarrow {{M_1}M'} = \overrightarrow u$. Gọi F là phép biến hình biến M thành M’

a. F là phép hợp thành của hai phép nào ? F có phải là phép dời hình hay không?

b. Chứng tỏ rằng F là một phép đối xứng tâm

Lời giải chi tiết

a. F là hợp thành của hai phép: phép đối xứng tâm Đ _O với tâm O và phép tịnh tiến T theo vecto $\overrightarrow u$. Ta có F là phép dời hình vì Đ _O và T là phép dời hình

b. Giả sử M ₁ = Đ _O (M) và M’ = $T_{\overrightarrow u }$(M ₁ )

Nếu gọi O’ là trung điểm của MM’ thì:

$\overrightarrow {OO'} = {{\overrightarrow {{M_1}M'} } \over 2} = {{\overrightarrow u } \over 2}$

Vậy điểm O’ cố định và F chính là phép đối xứng qua tâm O’